\[ \frac{ds(t)}{dt} = \lim_{dt \to 0} \frac{s(t + dt) - s(t)}{dt} \]
理解导数定义时，初学时或许会听到所谓“瞬时变化率”这一概念用于描述其定义，但在理解的过程中或许会陷入一个"悖论":
“变化”就意味着需要比较不同时间上的值，“瞬时”又意味着仅在单个时间值上，那么所谓的“瞬时变化率”又是怎么计算出来的？
也就是说所谓“瞬时变化率”本身就是一个自相矛盾的概念。
简单来说:
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所谓“瞬时变化”的概念是空洞的、不存在的
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导数根本就不是来测量“瞬时变化”的
以一个\(s(t)\)（路程-时间）函数为例:
\(s'(t)\) 的真正含义应当是指在第 \(t\) 秒附近物体移动速度的最佳近似，因为 \(dt\) 只是趋近于 \(0\)，并不是等于 \(0\)。
微小变化量才是导数的本质
以三次函数 \(s(t) = t^3\) 为例，按照上面的公式代入并展开:
\[ \begin{align} s'(t) &= \lim_{dt \to 0} \frac{s(t + dt) - s(t)}{dt} \\ &= \lim_{dt \to 0} \frac{(t + dt)^3 - t^3}{dt} \\ &= \lim_{dt \to 0} \frac{t^3 + 3t^2dt + 3tdt^2 + dt^3 - t^3}{dt} \\ &= \lim_{dt \to 0} \frac{3t^2dt + 3tdt^2 + dt^3}{dt} \\ &= \lim_{dt \to 0} (3t^2 + 3tdt + dt^2) \\ &= 3t^2 \end{align} \]
求导的代数过程或许有些复杂，但最后的结果却出人意料地简洁，这正是导数定义的精妙之处。
对于幂函数的求导，思考以下过程以理解面积变化（二次函数 \(x^2\) 求导的几何直观）与体积变化（三次函数 \(x^3\) 求导的几何直观）思想为什么扩展到 \(n\) 次幂时也同样适用:
\[ \begin{align} (x + dx)^n &= (x + dx)(x + dx) \cdots (x + dx) \\ &= x^n + dx \cdot x \cdot x \cdots x \\ &\quad \quad\ \ + x \cdot dx \cdot x \cdots x \\ &\quad \quad \quad \quad \vdots \\ &\quad \quad\ \ + x \cdot x \cdot x \cdots dx \\ &= x^n + nx^{n-1}dx + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}dx^2 + \cdots + dx^n \end{align} \]
中间的那一大串多项式及其化简结果 \(nx^{n-1}dx\) 也就是 \(n\) 次幂求导的代数结果了。
复杂函数基本可以概括为三种类型或其组合:
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加法型: \(f(x) + g(x)\)
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乘法型: \(f(x)g(x)\)
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复合型: \(f(g(x))\)
分别采用三个法则进行求导:
\[ \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx} \]
通过函数图像理解加法法则的推导过程。
\[ \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f(x)\frac{dg}{dx} + g(x)\frac{df}{dx} \]
通过建立面积模型理解乘法法则的推导过程。
\[ \frac{d}{dx}f(g(x)) = \frac{df}{dg}(g(x))\frac{dg}{dx} \]
过程类似于“剥洋葱”。
\[ \begin{align} \frac{d}{dx}a^x &= \lim_{dx \to 0} \frac{a^{x + dx} - a^x}{dx} \\ &= \lim_{dx \to 0} \frac{a^x(a^{dx} - 1)}{dx} \\ &= a^x \lim_{dx \to 0} \frac{a^{dx} - 1}{dx} \end{align} \]
代入一些数值找规律，可以发现 \(\lim_{dx \to 0} \frac{a^{dx} - 1}{dx}\) 是收敛的，其中特别的，当 \(a = e\) 时，\(\lim_{dx \to 0} \frac{e^{dx} - 1}{dx} = 1\)。
Tip
这里就得出了自然对数底数 \(e\) 的一个重要性质:
\[ \lim_{dx \to 0} \frac{e^{dx} - 1}{dx} = 1 \]
这个性质是 \(e\) 固有的，类似圆周率 \(\pi\) 是圆的周长与直径之比。
基于自然对数的底数，所有的指数函数都可以写成如下形式:
\[ a^x = e^{\ln a \cdot x} \]
这样看来指数函数的导数也就是指数函数本身乘上一个常数，符合其增长（衰减）直观: 所有的指数函数都和其导数成比例（变化率和变化量成正比），这个比例系数就是上面提到的 \(\lim_{dx \to 0} \frac{a^{dx} - 1}{dx}\)，简写为 \(\ln a\)。
上面的推导过程也可以看作是链式法则的一个特例（\(\frac{d}{dt}e^{ct} = ce^{ct}\)）:
\[ \begin{align} \frac{d}{dx}a^x &= \frac{d}{dx}e^{\ln a \cdot x} \\ &= \ln a \cdot e^{\ln a \cdot x} \\ &= \ln a \cdot a^x \end{align} \]
高阶导数的概念在介绍微积分的本质-泰勒级数时会用到，用于描述函数在某个点附近的近似。