极限¶

想要精确定义微积分的本质-导数，需要用到极限的概念，但若能够较好地理解导数的定义，极限理解起来并不困难。

epsilon-delta 定义¶

对于任意 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(|x - a| < \delta\) 时，\(|f(x) - L| < \epsilon\)，则称 \(f(x)\) 在 \(x \to a\) 时收敛于 \(L\)，记作 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)。

\(\epsilon\) 应当可以取到任意正数，在图像上的表现就是 \(\epsilon\) 到 \(L\) 的距离可以是任意（小）的。

用一个简单的例子来理解这个定义: 假设有一个分段函数，其间断点从结论来看显然是不存在极限的（但存在左右极限）；沿 \(y\) 轴正负方向同时逼近这个间断点的左右极限，当 \(\epsilon\) 足够小时，小到 \(|\epsilon|\) 接触或穿过左右极限所构成的区间，就无法没法再收缩了，这就违背了定义中 \(\epsilon\) 可以取到任意正数的条件；从图像上来看，我们也就无法找到这个本应由 \(\epsilon\) 收敛得到的 \(L\)。

洛必达法则¶