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抽样分布

常用统计量及性质

样本均值

\[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \]

样本方差

\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \]

常用性质

  1. \(E(\bar{X}) = \mu\)

  2. \(D(\bar{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{\sigma^2}{n}\)

  3. \(E(S^2) = D(X) = \sigma^2\)

  4. \(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)\)

  5. \(\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)\)

常见分布

卡方分布

设随机变量 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 相互独立，且服从标准正态分布，则称随机变量 \(X^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2\) 服从自由度为 \(n\) 的卡方分布，记作 \(X^2 \sim \chi^2(n)\)。

卡方分布具有以下性质：

  1. \(E(X^2) = n\)

  2. \(D(X^2) = 2n\)

  3. \(X \sim \chi^2(n_1), Y \sim \chi^2(n_2) \Rightarrow X + Y \sim \chi^2(n_1 + n_2)\)

t分布

若 \(X \sim N(0, 1), Y \sim \chi^2(n)\)，且 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，则称随机变量 \(T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\) 服从自由度为 \(n\) 的 t分布，记作 \(T \sim t(n)\)。

\[ P\{|T| > t_{\alpha/2}(n)\} = \alpha \]

这个分布的密度函数为：

\[ f(x) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}) \sqrt{n\pi}} (1 + \frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} \]

F分布

若 \(X \sim \chi^2(n_1), Y \sim \chi^2(n_2)\)，且 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，则称随机变量 \(\frac{X/n_1}{Y/n_2}\) 服从自由度为 \(n_1\) 和 \(n_2\) 的 F分布，记作 \(\frac{X/n_1}{Y/n_2} \sim F(n_1, n_2)\)。

F分布具有以下性质：

  1. \(E(F) = \frac{n_2}{n_2 - 2}\)

  2. \(D(F) = \frac{2n_2^2(n_1 + n_2 - 2)}{n_1(n_2 - 2)^2(n_2 - 4)}\)

  3. \(F \sim F(n_1, n_2) \Rightarrow 1/F \sim F(n_2, n_1)\)

  4. \(F(n_1, n_2) = \frac{1}{F(n_2, n_1)}\)

  5. \(F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}\)