条件概率和全概率公式¶
条件概率¶
\[ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \]
\[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \]
条件概率的本质就是将样本空间从 \(S\) 缩小到 \(A\) 中，然后基于这个新的样本空间计算 \(B\) 的概率。
乘法公式¶
\[ P(AB) = P(A)P(B|A) \]
结合条件概率公式的本质并不难理解。
全概率公式¶
对一个样本空间进行划分（将样本空间分成若干个互不相交的子集），然后利用乘法定理计算每个子集的概率，最后将这些概率相加得到样本空间的总概率。
设试验 \(E\) 的样本空间为 \(S\)，\(A\) 为 \(E\) 的事件，\(B_1, B_2, \cdots, B_n\) 为 \(S\) 的一个划分，且 \(P(B_i) > 0\)，则有：
\[ P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i) \]
贝叶斯公式¶
也称“逆概率公式”：利用全概率公式计算概率，然后利用条件概率公式计算条件概率。
设试验 \(E\) 的样本空间为 \(S\)，\(A\) 为 \(E\) 的事件，\(B_1, B_2, \cdots, B_n\) 为 \(S\) 的一个划分，且 \(P(A) > 0\)，\(P(B_i) > 0\)，则有：
\[ P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^n P(A|B_j)P(B_j)} \]