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离散型随机变量及其分布

设离散型随机变量 \(X\) 的所有可能取值为 \(x_i (x_1, x_2, \cdots)\)，即事件 \(\{X = x_i\}\) 的概率，为：

\[ P(X = x_i) = p_i, i = 1, 2, \cdots \]

则 \(p_i\) 需满足以下条件：

  • \(p_i \geq 0, i = 1, 2, \cdots\)

  • \(\sum_{i=1}^\infty p_i = 1\)

这不难理解，因为 \(X\) 的所有可能取值求和为必然事件，即取值的概率之和为 \(1\)。

分布也可以写成表格的形式：

\(X\) \(x_1\) \(x_2\) \(\cdots\) \(x_n\) \(\cdots\)
\(P\{X = x_i\}\) \(p_1\) \(p_2\) \(\cdots\) \(p_n\) \(\cdots\)

常见离散型分布

0-1 分布

若随机变量 \(X\) 的取值只有 \(0\) 和 \(1\)，则概率分布率为：

\[ p\{X = k\} = p^k (1-p)^{1-k}, k = 0, 1\ (0 < p < 1) \]

称 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的（0 - 1）分布或两点分布，记作 \(X \sim B(1, p)\)。也可写成：

\(X\) \(0\) \(1\)
\(P\{X = x_i\}\) \(1-p\) \(p\)

其期望与方差为：

\[ E(X) = p, \quad D(X) = p(1-p) \]

二项分布

设试验 \(E\) 只有两个可能结果：\(A\) 和 \(\overline{A}\)，\(P(A) = p\)，\(P(\overline{A}) = 1-p\)。将试验 \(E\) 重复独立地进行 \(n\) 次，则称这一串重复的独立试验为 \(n\) 重伯努利试验。

设随机变量 \(X\) 表示 \(n\) 重伯努利试验中事件 \(A\) 发生的次数，则 \(X\) 的分布律为：

\[ P\{X = k\} = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, k = 0, 1, \cdots, n \]

称 \(X\) 服从参数为 \(n\) 和 \(p\) 的二项分布，记作 \(X \sim B(n, p)\)。

显然，将所有概率值求和（二项式展开）：

\[ \sum_{k=0}^n P\{X = k\} = \sum_{k=0}^n C_n^k p^k (1-p)^{n-k} = (p + (1-p))^n = 1 \]

注意到，当 \(n = 1\) 时，二项分布即为两点分布，两点分布是二项分布的一个特例。

其期望与方差为：

\[ E(X) = np, \quad D(X) = np(1-p) \]

泊松分布

设随机变量 \(X\) 表示在一定时间间隔内，事件 \(A\) 发生的次数，且事件 \(A\) 发生的概率为 \(p\)，则 \(X\) 的分布律为：

\[ P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, k = 0, 1, \cdots \]

称 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布，记作 \(X \sim \pi(\lambda)\)。

其中 \(\lambda > 0\) 为常数。

易得：

\[ \sum_{k=0}^\infty P\{X = k\} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} e^\lambda = 1 \]

其期望与方差为：

\[ E(X) = \lambda, \quad D(X) = \lambda \]

泊松定理

当 \(n\) 很大，\(p\) 很小时，二项分布可以近似为泊松分布：

设 \(\lambda > 0\) 是一个常数，\(n\) 是任意正整数，设 \(np_n = \lambda\)，则对于任一固定的非负整数 \(k\)，有：

\[ \lim_{n \to \infty} P\{X = k\} = \lim_{n \to \infty} C_n^k p_n^k (1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

即：

\[ \lim_{n \to \infty} B(n, p_n) = \pi(\lambda) \]

几何分布

设随机变量 \(X\) 表示在 \(n\) 重伯努利试验中，事件 \(A\) 第一次发生时的试验次数，则 \(X\) 的分布律为：

\[ P\{X = k\} = p(1-p)^{k-1}, k = 1, 2, \cdots \]

称 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的几何分布，记作 \(X \sim G(p)\)。

易得：

\[ \sum_{k=1}^\infty P\{X = k\} = \sum_{k=1}^\infty p(1-p)^{k-1} = p \sum_{k=1}^\infty (1-p)^{k-1} = p \frac{1}{1-(1-p)} = 1 \]

其期望与方差为：

\[ E(X) = \frac{1}{p}, \quad D(X) = \frac{1-p}{p^2} \]

超几何分布

设随机变量 \(X\) 表示从 \(N\) 个物品中抽取 \(n\) 个物品，其中 \(M\) 个物品是次品，则 \(X\) 的分布律为：

\[ P\{X = k\} = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}, k = 0, 1, \cdots, \min(n, M) \]

称 \(X\) 服从参数为 \(N\)，\(M\) 和 \(n\) 的超几何分布，记作 \(X \sim H(N, M, n)\)。

其期望与方差为：

\[ E(X) = n \frac{M}{N}, \quad D(X) = n \frac{M}{N} \left(1 - \frac{M}{N}\right) \frac{N - n}{N - 1} \]

当 \(N\) 很大时，超几何分布可用 \(B\left(n, \frac{M}{N}\right)\) 近似，此时 \(D(X) \approx n \frac{M}{N} \left(1 - \frac{M}{N}\right)\)。