联合分布¶

二维离散型随机变量¶

如果二维随机变量 \((X, Y)\) 全部可能取到的值是有限对或可列无限对，则称 \((X, Y)\) 是二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量 \((X, Y)\) 的所有可能取到的值为 \((x_i, y_j)\)，其中 \(i, j = 1, 2, \ldots\)，记 \(P\{X = x_i, Y = y_j\} = p_{ij}, i, j = 1, 2, \ldots\)，则有（联合分布的基本性质）：

二维离散型随机变量的联合分布¶

数学上，将上面的 \(P\{X = x_i, Y = y_j\} = p_{ij}, i, j = 1, 2, \ldots\) 称为二维离散型随机变量 \((X, Y)\) 的联合分布，或称为随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的联合分布律。

也可用表格描述该联合分布：

结合二维随机变量的分布函数的概念，可以得到其联合分布函数：

二维连续型随机变量¶

与一维连续型随机变量相似，如果二维随机变量 \((X, Y)\) 的所有可能取到的值是一个连续区域内的点，则称 \((X, Y)\) 是二维连续型随机变量，即对于二维随机变量 \((X, Y)\) 的分布函数 \(F(x, y)\)，存在非负可积函数 \(f(x, y)\) 使对于任意实数 \(x\) 和 \(y\)，都有：

函数 \(f(x, y)\) 称为二维连续型随机变量 \((X, Y)\) 的概率密度，或称为随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的联合概率密度。

联合概率密度的基本性质¶

1. \(f(x, y) \geqslant 0\).

2. \(\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = 1\).

3. 若 \(f(x, y)\) 在 \((x, y)\) 处连续，则有：

   \[ f(x, y) = \frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y} \]

   这个性质依旧可以类比一维连续型随机变量概率密度函数的基本性质（性质4）进行理解记忆。

4. 设 \(D\) 是 \(xOy\) 平面上的区域，点 \((X, Y)\) 落在 \(D\) 内的概率为：

   \[ P\{(X, Y) \in D\} = \iint_D f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

   联合概率密度的本质

   理解这个性质，首先需要理解联合概率密度函数的本质（从函数图像上来看，其实就是一个永远处于 \(xOy\) 平面之上的曲面），然后再结合二重积分的本质理解，其实就是求在区域 \(D\) 上，\(f(x, y)\) 与 \(xOy\) 平面围成的区域的体积。

   数学描述如下：

   由联合分布函数与联合概率密度的关系，在 \(f(x, y)\) 的连续点处有：

   \[ \begin{aligned} \lim_{\varDelta x \to 0^+} \lim_{\varDelta y \to 0^+} \frac{P\{x < X \leqslant x + \varDelta x,\ y < Y \leqslant y + \varDelta y\}}{\varDelta x \varDelta y} &= \lim_{\varDelta x \to 0^+} \lim_{\varDelta y \to 0^+} \frac{1}{\varDelta x \varDelta y} \big[ F(x+\varDelta x, y+\varDelta y) - F(x+\varDelta x, y) \\ &\qquad\qquad\qquad\quad - F(x, y+\varDelta y) + F(x, y) \big] \\ &= \frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y} = f(x, y). \end{aligned} \]

   这表示当 \(\varDelta x,\varDelta y\) 很小时，有近似关系：

   \[ P\{x < X \leqslant x + \varDelta x,\ y < Y \leqslant y + \varDelta y\} \approx f(x, y)\,\varDelta x\,\varDelta y. \]

   也就是说，点 \((X,Y)\) 落在小矩形 \((x, x+\varDelta x] \times (y, y+\varDelta y]\) 内的概率，近似等于“密度值（高） \(\times\) 面积（由于 \(\varDelta x,\varDelta y\) 非常小，可以看作是矩形而非曲面）”，即曲面 \(f(x, y)\) 与 \(xOy\) 平面围成的区域的体积。

联合概率密度的n维推广¶

前面的二维结论可以自然推广到 \(n\) 维随机变量或 \(n\) 维随机向量 \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\)。

n维联合分布函数¶

定义：

它表示随机点落在 \((-\infty, x_1] \times (-\infty, x_2] \times \cdots \times (-\infty, x_n]\) 内的概率。

n维离散型¶

若 \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\) 为离散型，记

则有

并且

n维连续型¶

若存在非负可积函数 \(f(x_1, \ldots, x_n)\) 使

则称 \(f\) 为 \(n\) 维联合概率密度，并有

对任意区域 \(G \subset \mathbb{R}^n\)，