设 \((X, Y)\) 是一个二维随机变量，则称 \(F_X(x) = P\{X \leqslant x\}\) 为 \(X\) 的边缘分布函数，或称为随机变量 \(X\) 的边缘分布函数。
\[ F_X(x) = P\{X \leqslant x\} = P\{X \leqslant x, Y < \infty\} = F(x, \infty) \]
同理，称 \(F_Y(y) = P\{Y \leqslant y\}\) 为 \(Y\) 的边缘分布函数，或称为随机变量 \(Y\) 的边缘分布函数。
\[ F_Y(y) = P\{Y \leqslant y\} = P\{Y \leqslant y, X < \infty\} = F(\infty, y) \]
简单来说，边缘分布就是把联合分布中的另一个变量固定为 \((-\infty, \infty)\) 得到的分布。
结合几何本质上来看会更好理解：
由上面的定义，可得二维离散型随机变量的分布函数：
\[ F_X(x) = F(x, \infty) = \sum_{x_i \leqslant x} \sum_{j = 1}^{\infty} p_{ij} \]
\[ F_Y(y) = F(\infty, y) = \sum_{i = 1}^{\infty} \sum_{y_j \leqslant y} p_{ij} \]
基于离散型随机变量分布函数的定义，可得二维离散型随机变量的边缘分布律为：
\[ P\{X = x_i\} = \sum_{j=1}^{\infty} P\{X = x_i, Y = y_j\} = \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} \]
\[ P\{Y = y_j\} = \sum_{i=1}^{\infty} P\{X = x_i, Y = y_j\} = \sum_{i=1}^{\infty} p_{ij} \]
因为只需要考虑 \(X\) 或 \(Y\) 的取值，另一个值的所有情况都是可取的，因此从分布律的表格形式来看，就是以行（列）为单位进行求和操作。
设二维连续型随机变量 \((X, Y)\) 的联合密度函数为 \(f(x, y)\)，基于联合概率密度函数的定义，有：
\[ F_X(x) = F(x, \infty) = \int_{-\infty}^x \left[\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \mathrm{d}y\right] \mathrm{d}x \]
再基于连续型随机变量的分布函数的定义和性质（性质4），可得 \(X\) 的概率密度为：
\[ \begin{align} f_X(x) &= \frac{\partial F_X(x)}{\partial x} \\ &= \frac{\partial}{\partial x} \left[\int_{-\infty}^x \left[\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \mathrm{d}y\right] \mathrm{d}x\right] \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \mathrm{d}y \end{align} \]
同理，可得 \(Y\) 的概率密度为：
\[ \begin{align} f_Y(y) &= \frac{\partial F_Y(y)}{\partial y} \\ &= \frac{\partial}{\partial y} \left[\int_{-\infty}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^y f(x, y) \mathrm{d}x\right] \mathrm{d}y\right] \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \mathrm{d}x \end{align} \]
分别称 \(f_X(x)\) 和 \(f_Y(y)\) 为 \((X, Y)\) 关于 \(X\) 和关于 \(Y\) 的边缘概率密度。
可以简单理解为联合密度函数的那个曲顶在 \(xOz\) 或 \(yOz\) 平面上的投影。
求解边缘密度
求解边缘密度函数时可以借助图像理解其几何本质，然后再将思路转化为数学语言。
设二维随机变量 \((X, Y)\) 的联合密度函数为：
\[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left[-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left(\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right)\right] \]
则称 \((X, Y)\) 服从参数为 \(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\) 的二维正态分布，记作 \((X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)\)。
先求关于 \(X\) 的边缘密度：
\[ \begin{align} f_X(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)\,\mathrm{d}y \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left[-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left(\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right)\right]\mathrm{d}y \end{align} \]
对指数中的二次型配方：
\[ \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} = \left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2} - \rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 - \rho^2\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} \]
代回可得：
\[ f_X(x) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\right) \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left[-\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2} - \rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2\right]\mathrm{d}y \]
令
\[ t = \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2} - \rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right),\qquad \mathrm{d}y = \sigma_2\sqrt{1-\rho^2}\,\mathrm{d}t \]
则
\[ \begin{align} f_X(x) &= \frac{1}{2\pi\sigma_1} \exp\left(-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\right) \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} \exp\left(-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\right),\qquad -\infty<x<\infty \end{align} \]
同理，
\[ f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} \exp\left(-\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\right),\qquad -\infty<y<\infty \]
所以二维正态分布的两个边缘分布分别是一维正态分布：
\[ X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\qquad Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2) \]
并且边缘分布与相关系数 \(\rho\) 无关（但联合分布仍与 \(\rho\) 有关）。
二维正态分布与其边缘分布的关系
\((X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho) \Rightarrow X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\)，即二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。
但反之不亦然，由 \(X, Y\) 都服从正态分布 \(\not \Rightarrow (X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)\)。若 \(X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)\)，\(Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\)，且 \(X, Y\) 相互独立，则 \((X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, 0)\)。