随机变量的分布函数¶
设 \(X\) 是一个随机变量，则 \(X\) 的分布函数定义为：
针对离散型随机变量 \(X\)，有分布律：
由概率的可列可加性，可得其分布函数为：
分布函数是随机变量 \(X\) 的分布的另一种表示方法，它能够更方便地计算随机变量 \(X\) 的概率。
分布函数的基本性质¶
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\(F(x)\) 是单调不减函数，即对于任意的 \(x_1 < x_2\)，有 \(F(x_1) \leqslant F(x_2)\)
\[ \begin{align} P\{x_1 < X \leqslant x_2\} &= P\{X \leqslant x_2\} - P\{X \leqslant x_1\} \\ &= F(x_2) - F(x_1) \\ \Rightarrow F(x_2) - F(x_1) &= P\{x_1 < X \leqslant x_2\} \leqslant 0 \end{align} \] -
\(0 \leqslant F(x) \leqslant 1\)，且
\[ F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, F(\infty) = \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \]这个不难理解，\(x \to -\infty\) ，\(X\) 几乎不可能取到（比负无穷还小的值），当 \(x \to \infty\) 时，\(X\) 取值几乎包含所有可能的值。
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\(F(x)\) 是右连续函数，即对于任意的 \(x\)，有 \(F(x) = F(x+0)\)
以上基本性质常用于参数函数的判别或求参，特别是性质2。
随机变量的期望与方差¶
一维离散型随机变量的期望与方差¶
期望与方差的性质¶
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设 \(c\) 是常数，则 \(E(c) = c, D(c) = 0\)
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\(E(aX + c) = aE(X) + c\)
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\(E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)\)
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若 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，则 \(E(XY) = E(X) E(Y)\)
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\(D(aX + b) = a^2D(X)\)
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\(D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X, Y) = D(X) + D(Y) \pm 2E(XY) - E(X)E(Y)\)。这里的 \(Cov(X, Y)\) 是 \(X\) 和 \(Y\) 的协方差
切比雪夫不等式¶
这个不等式表明，随机变量 \(X\) 的方差越小，其偏离期望值的概率越小。
协方差¶
相关系数¶
当 \(\rho_{XY} = 0\) 时，称 \(X\) 和 \(Y\) 不相关。
相关性与独立性
事件相互独立则一定不相关，但不相关不一定独立。
协方差的性质¶
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\(Cov(X, Y) = Cov(Y, X)\)
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\(Cov(X, C) = 0\)，其中 \(C\) 是常数
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\(Cov(X, X) = D(X)\)
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\(Cov(aX + b, Y) = aCov(X, Y)\)
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\(Cov(X_1 + X_2, Y) = Cov(X_1, Y) + Cov(X_2, Y)\)
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\(Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X, Y)\)
中心极限定理¶
独立同分布的中心极限定理¶
随机变量 \(X_i\) 满足：
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独立
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同分布
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期望 \(E(X_i) = \mu\)
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方差 \(D(X_i) = \sigma^2\)
则称 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 服从中心极限定理。
此时有：
二项分布中心极限定理¶
设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(n\) 和 \(p\) 的二项分布，即 \(X \sim B(n, p)\)，则当 \(n\) 很大时，\(X\) 的分布可以近似为正态分布，即：
此时有：