命题逻辑的基本概念 ¶

命题 ¶

Tip

判断给定句子是否为陈述句，应该分为两步:

否定: \(\neg P\)（非 \(P\)，当 \(P\) 为假时为真）

\(P\) \(\neg P\)

\(1\) \(0\)

\(0\) \(1\)
合取: \(P \wedge Q\)（\(P\) 且/与 \(Q\)；当且仅当 \(P\) 与 \(Q\) 同时为真时为真）

\(P\) \(Q\) \(P \wedge Q\)

\(1\) \(1\) \(1\)

\(1\) \(0\) \(0\)

\(0\) \(1\) \(0\)

\(0\) \(0\) \(0\)
析取: \(P \vee Q\)（\(P\) 或 \(Q\)；当 \(P\) 和 \(Q\) 中至少有一个为真时为真）

\(P\) \(Q\) \(P \vee Q\)

\(1\) \(1\) \(1\)

\(1\) \(0\) \(1\)

\(0\) \(1\) \(1\)

\(0\) \(0\) \(0\)
蕴含: \(P \Rightarrow Q\)（\(P\) 蕴含 \(Q\)；如果 \(P\)，那么 \(Q\)；只要 \(P\)，就 \(Q\)；\(P\) 当且仅当 \(Q\)）

\(P\) \(Q\) \(P \Rightarrow Q\)

\(1\) \(1\) \(1\)

\(1\) \(0\) \(0\)

\(0\) \(1\) \(1\)

\(0\) \(0\) \(1\)
等价: \(P \Leftrightarrow Q\)（\(P\) 等价于 \(Q\)；当且仅当 \(P\) 与 \(Q\) 具有相同的真值时为真）

\(P\) \(Q\) \(P \Leftrightarrow Q\)

\(1\) \(1\) \(1\)

\(1\) \(0\) \(0\)

\(0\) \(1\) \(0\)

\(0\) \(0\) \(1\)
运算优先级: \(( ) > \neg > \wedge > \vee > \Rightarrow > \Leftrightarrow\)

命题符号化

\(4\) 不是素数。

\(p: 4\) 是素数 \(\Rightarrow \neg p\)
小明和小红是学生。

\(p\): 小明是学生, \(q\): 小红是学生 \(\Rightarrow p \wedge q\)
小明和小红是同学。

因为同学关系是相互的，单个人无法形成关系，因此这个是原子命题。
小明是福建人或上海人。

这是排斥或，因为不可能同时是上海人和福建人。

\(p\): 小明是福建人, \(q\): 小明是上海人 \(\Rightarrow (p \wedge \neg q) \vee (\neg p \wedge q)\)
小红喜欢计算机或数学

这是相容或，可以同时喜欢计算机和数学。

\(p\): 小红喜欢计算机, \(q\): 小红喜欢数学 \(\Rightarrow p \vee q\)
- 只要 \(p\)，就 \(q\) \(\Rightarrow p \rightarrow q\)
- 只有 \(p\)，才 \(q\) \(\Rightarrow q \rightarrow p\)
- \(p\)，仅当 \(q\) \(\Rightarrow p \leftrightarrow q\)

Example

对于 \((\neg p \wedge q) \rightarrow \neg r\):

设 \(A\) 为任一命题公式，