集合¶
Abstract
| 角度 | 解释 |
|---|---|
| What | 由一些「可确定、可分辨」的对象组成的整体；对象叫元素。 |
| Why | 后续几乎所有内容都会反复用到「属于/不属于」「包含/被包含」「并交差补」。 |
| How | 会两种表示法（列举/谓词），分清 \(x\in A\) 与 \(B\subseteq A\)，熟练并交差补与文氏图。 |
基本概念¶
元素¶
在集合中，元素排列互异且无序。
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互异：元素不重复（\(\{1,1,2\}=\{1,2\}\)）。
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无序：顺序不重要（\(\{1,2,3\}=\{3,1,2\}\)）。
隶属¶
元素与集合的关系是「属于 / 不属于」，例如：\(x\) 属于 \(A\)，记作
\(x\) 不属于 \(A\)，记作
集合本身也可以作为元素出现，例如 \(\{a\}\in \{a,\{a\}\}\)。
子集¶
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子集：\(B\subseteq A\iff \forall x(x\in B\rightarrow x\in A)\)。
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真子集：\(B\subset A\iff (B\subseteq A)\land(B\neq A)\)。
相等¶
空集¶
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定义：不含任何元素的集合，记作 \(\varnothing\)。
\[ \varnothing = \{x\mid x\neq x\} = \{x \mid P(x) \wedge \neg P(x)\} \] -
关键性质：\(\varnothing\subseteq A\) 对任意 \(A\) 都成立，即空集是任意集合的子集。
Warning
n元集¶
含有 \(n\) 个元素的集合简称 n元集，它的含有 \(m\) (\(m\leq n\)) 个元素的子集叫做它的 \(m\) 元子集。
幂集¶
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定义：\(P(A)=\{x \mid x\subseteq A\}\)。
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若 \(A\) 是 \(n\) 元集，其 \(0\)元集有 \(C_n^0\) 个，\(1\) 元集有 \(C_n^1\) 个，\(2\) 元集有 \(C_n^2\) 个，...，\(n\) 元集有 \(C_n^n\) 个，则子集总数为 \(\sum_{i=0}^n C_n^i = 2^n\)，即 \(|P(A)|=2^n\)。
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\(x \subseteq A \iff x \in P(A)\)
Example
\(A=\{1,2,3\}\Rightarrow |P(A)|=8, P(A)=\{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}\)
集合的表示方法¶
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列元素法（roster）：\(A=\{a,b,c\}\)，元素少/可列完。
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谓词表示法（predicate）：\(B=\{x\mid x\in\mathbb{R}\land x^2-1=0\}=\{-1,1\}\)，元素多或无限。
常见数集：
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\(\mathbb{N}\)：自然数集
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\(\mathbb{Z}\)：整数集
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\(\mathbb{Q}\)：有理数集
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\(\mathbb{R}\)：实数集
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\(\mathbb{C}\)：复数集
集合的运算¶
基本运算¶
设 \(A,B\) 为集合：
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并集：\(A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}\)
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交集：\(A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\}\)
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差集：\(A-B=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}\)
若 \(A\cap B=\varnothing\)，称 \(A,B\) 不相交。
广义并与广义交¶
绝对补集¶
\(U\) 为全集，因此：
Example
\(A=\{a,b,c\}, U=\{a,b,c,d,e,f,g\}\)，则 \(\overline{A}=\{d,e,f,g\}\)。
对称差¶
Example
\(A=\{a,b,c\}, B=\{b,c,d\}\)，则 \(A\oplus B=\{a,d\}\)。
文氏图¶
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集合之间的关系和运算可以用文氏图给予形象的描述。
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文氏图的构造方法如下：
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画一个大矩形表示全集E（有时为简单起见可将全集省略）；
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在矩形内画一些圆（或任何其它的适当的闭曲线），用圆的内部表示集合；
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不同的圆代表不同的集合。如果没有关于集合不交的说明，任何两个圆彼此相交。
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图中阴影的区域表示新组成的集合。
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可以用实心点代表集合中的元素。
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集合恒等式¶
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幂等律：\(A\cup A=A\)，\(A\cap A=A\)
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交换律：\(A\cup B=B\cup A\)，\(A\cap B=B\cap A\)
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结合律：\((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\)，\((A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)\)
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分配律：\(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)，\(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)
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同一律：\(A\cup\varnothing=A\)，\(A\cap U=A\)
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零律：\(A\cup U=U\)，\(A\cap\varnothing=\varnothing\)
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排中律：\(A\cup\overline{A}=U\)，\(A\cap\overline{A}=\varnothing\)
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矛盾律：\(A\cap\neg A=\varnothing\)
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吸收律：\(A\cup(A\cap B)=A\)，\(A\cap(A\cup B)=A\)
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德摩根律：\(\overline{B\cup C}=\overline{B}\cap\overline{C}\)，\(\overline{B\cap C}=\overline{B}\cup\overline{C}\)
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双重否定：\(\overline{\overline{A}}=A\)
一个非常实用的转换（把差集转成交集）
集合运算的部分性质¶
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\(A \cap B \subseteq A\)，\(A \cap B \subseteq B\)
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\(A \subseteq A \cup B\)，\(B \subseteq A \cup B\)
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\(A - B \subseteq A\)
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\(A - B = A \cap \overline{B}\)
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\(A \cup B = B \iff A \subseteq B \iff A \cap B = A \iff A - B = \varnothing\)
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\(A \oplus B = B \oplus A\)
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\((A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C)\)
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\(A \oplus \varnothing = A\)，\(A \oplus A = \varnothing\)
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\(A \oplus B = A \oplus C \iff B = C\)
有穷集计数¶
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使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。
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首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。
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一般地说，每一条性质决定一个集合。
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有多少条性质，就有多少个集合。
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如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的。
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然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。
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通常从n个集合的交集填起，
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根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。
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如果交集的数字是未知的，可以设为x。
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根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所需要的结果。
Example
包含-排斥原理¶
有穷集计数问题也可以通过包含-排斥原理来解决。
设 \(S\) 为有穷集，\(P_1,P_2,\ldots,P_m\) 是 \(m\) 个性质。S中的任何元素 \(x\) 或者具有性质 \(P_i\)，或者不具有性质 \(P_i\) (\(i=1,2,\ldots,m\))，两种情况必居其一。令 \(A_i\) 表示 \(S\) 中具有性质 \(P_i\) 的元素构成的子集，则 \(S\) 中不具有性质 \(P_1,P_2,\ldots,P_m\) 的元素为：
\(S\) 中至少具有一条性质的元素数为：
Example
