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二次型

定义

二次型是二次齐次多项式，即形如下式的多项式。

\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \cdots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n\]

利用矩阵，二次型可表示为如下形式:

\[ \begin{align} f &= x_1(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n) + x_2(a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n) + \cdots + x_n(a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n) \\ &= (x_1, x_2, \cdots, x_n) \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n \end{pmatrix} \\ &= (x_1, x_2, \cdots, x_n) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{align} \]

记

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \]

则二次型可简记作 \(f = x^TAx\)

其中系数矩阵 \(A\) 为对称矩阵。

Example

  1. 写出二次型 \(f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 + 6x_1x_3 + 4x_2x_3\) 的二次型矩阵 \(A\)

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

  2. 写出二次型 \(f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 - 4x_1x_2 + 6x_2x_3\) 的二次型矩阵 \(A\)

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} \]

求正交变换与化标准型

与在正交相似对角化中求正交相似变换矩阵类似，本质是要求一个正交矩阵 \(P\)，使得有一个正交变换 \(x = Py\)，能将 \(f\) 化为标准形 \(f = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2\)。

大致可根据以下步骤进行求解:

  1. 写出二次型 \(f\) 的矩阵 \(A\)

  2. 求出 \(A\) 的特征值 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\)

  3. 求出 \(A\) 的特征向量（基础解系） \(p_1, p_2, \cdots, p_n\)

  4. 将 \(p_1, p_2, \cdots, p_n\) 正交化

  5. 单位化

  6. 构造正交矩阵 \(P = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)\)

  7. 将特征值 \(\lambda_i\) 分别代入作为标准型中 \(y_i^2\) 的系数

Example

求一个正交变换 \(x = Py\)，将二次型 \(f(x_1, x_2, x_3) = -2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3\) 化为标准型，并判断其正定性

  • 解:

    依题可得二次型矩阵 \(A\) 为:

    \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

    Review

    这里可以看出其实接下来的步骤其实和正交相似对角化中example的解题步骤基本一致

    \[ |A - \lambda E| = \begin{vmatrix} -\lambda & -1 & 1 \\ -1 & -\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = -(\lambda - 1)^2(\lambda + 2) = 0 \]

    解得特征值 \(\lambda_1 = \lambda_2 = 1\), \(\lambda_3 = -2\)

    • \(\lambda_1 = \lambda_2 = 1\) 时，解 \((A - E)x = 0\)

      \[ A - E = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

      得 \(x_1 + x_2 - x_3 = 0\)

      令 \(x_2 = 1, x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = -1\)，得解向量 \(\alpha_1 = (-1, 1, 0)^T\)

      令 \(x_2 = 0, x_3 = 1 \Rightarrow x_1 = 1\)，得解向量 \(\alpha_2 = (1, 0, 1)^T\)

    • \(\lambda_3 = -2\) 时，解 \((A + 2E)x = 0\)

      \[ A + 2E = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

      得 \(\begin{cases} x_1 = -x_3 \\ x_2 = -x_3 \\ \end{cases}\)

      令 \(x_3 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = -1\)，得解向量 \(\alpha_3 = (-1, -1, 1)^T\)

    将 \(\alpha_1, \alpha_2\) 正交化:

    取 \(\beta_1 = \alpha_1 = (-1, 1, 0)^T\)

    则有 \(\beta_2 = \alpha_2 - \frac{\alpha_2 \cdot \beta_1}{\beta_1 \cdot \beta_1} \beta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1)^T\)

    \(\beta_3 = (-1, -1, 1)^T\)

    再将 \(\beta_1, \beta_2, \beta_3\) 单位化:

    \[ e_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)^T \]
    \[ e_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}})^T \]
    \[ e_3 = \frac{\beta_3}{\|\beta_3\|} = (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})^T \]

    故标准型为 \(f = y_1^2 + y_2^2 - 2y_3^2\)，不是正定二次型

    规范型为 \(f = y_1^2 + y_2^2 - y_3^2\)

    Tip

    • 判断二次型是否正定的方法: 二次型的标准型中所有系数（特征值）都为正数，则二次型为正定二次型，否则为非正定二次型。

    • 规范型: 将所有系数（特征值）化为 \(1, -1, 0\) 的形式

顺序主子式判别法

对于二次型 \(f = x^TAx\)，其顺序主子式为:

\[ D_1 = a_{11}, \quad D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, D_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} , \quad \cdots, \quad D_n = |A| \]

如果所有顺序主子式都大于零，则二次型为正定二次型，否则为非正定二次型。

例题

  1. 判断二次型 \(f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3\) 的正定性

    解:

    依题可得二次型矩阵 \(A\) 为:

    \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]
    \[ |2| = 2 > 0, \quad \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 > 0, \quad \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 > 0 \]

    故二次型 \(f\) 正定

  2. 设 \(f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 4x_2^2 + 2x_3^2 + 2tx_1x_2 + 2x_1x_3\) 为正定二次型，求 \(t\) 的取值范围

    解:

    依题可得二次型矩阵 \(A\) 为:

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & t & 1 \\ t & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

    由 \(\begin{vmatrix} 1 & t \\ t & 4 \end{vmatrix} > 0, \begin{vmatrix} 1 & t & 1 \\ t & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} > 0\) 得 \(\begin{cases} 4 - t^2 > 0 \\ -2t^2 + 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2 < t < 2 \\ -\sqrt{2} < t < \sqrt{2} \end{cases}\)

    故 \(t \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})\)