向量 ¶

向量组 ¶

向量组是有限个同维数的列向量（或行向量）组成的集合。

\[ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s \]

其中 \(\alpha_i\) 是 \(n\) 维列向量，\(i = 1, 2, \cdots, s\)。

例如，现有向量 \(\alpha_1 = (1, 2, 3)^T\), \(\alpha_2 = (4, 5, 6)^T\), \(\alpha_3 = (7, 8, 9)^T\)，则有

\[ A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]

向量组的线性组合 ¶

一个向量可以表示为另一个向量的线性组合，即

\[ \beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s \]

其中 \(k_i\) 是常数，\(i = 1, 2, \cdots, s\)。

Example

设 \(\alpha_1 = (1, 0, 0)^T\), \(\alpha_2 = (0, 1, 0)^T\), \(\alpha_3 = (-1, 0, 1)^T\), \(\beta = (0, 5, -9)^T\)，使用 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性表示 \(\beta\)

解:

设 \(\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3\)，则有

\[ \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -9 \end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

即 \(\begin{cases} k_1 - k_3 = 0 \\ k_2 = 5 \\ k_3 = -9 \end{cases}\)，解得 \(k_1 = -9, k_2 = 5, k_3 = -9\)。

故 \(\beta = -9\alpha_1 + 5\alpha_2 - 9\alpha_3\)。

向量组的线性相关性 ¶

定义 ¶

对于向量组 \(A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\)，如果存在不全为 \(0\) 的数 \(k_1, k_2, \cdots, k_s\)，使得

\[ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s = 0 \]

则称向量组 \(A\) 是线性相关的，否则称其线性无关。

Tip

这里的否则指若最后计算下来 \(k_1, k_2, \cdots, k_s\) 全为 \(0\)。

Example

设 \(b_1 = a_1 + a_2\), \(b_2 = a_2 + a_3\), \(b_3 = a_3 + a_1\)，且 \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，求证 \(b_1, b_2, b_3\) 线性无关

解:

不妨假设 \(b_1, b_2, b_3\) 线性相关，即存在一组不全为 \(0\) 的数 \(k_1, k_2, k_3\)，使得 \(k_1b_1 + k_2b_2 + k_3b_3 = 0\)，即

\[ k_1(a_1 + a_2) + k_2(a_2 + a_3) + k_3(a_3 + a_1) = 0 \]

化简得

\[ (k_1 + k_3)a_1 + (k_1 + k_2)a_2 + (k_2 + k_3)a_3 = 0 \]

由于 \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，故有

\[ \begin{cases} k_1 + k_3 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \end{cases} \]

解得 \(k_1 = k_2 = k_3 = 0\)，与假设矛盾，故 \(b_1, b_2, b_3\) 线性无关。

定理 ¶

向量组 \(A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\) 线性相关 \(\Leftrightarrow\) \(r(A) < s\)
向量组 \(A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\) 线性无关 \(\Leftrightarrow\) \(r(A) = s\)

Example

已知 \(\alpha_1 = (1, 0, 1)^T\), \(\alpha_2 = (-1, 2, 2)^T\), \(\alpha_3 = (1, 2, 4)^T\)，判断向量组 \(A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\) 的线性相关性

解:

\[ \begin{align} A &= (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \\ &\xrightarrow{r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} \\ &\xrightarrow{r_3 - \frac{3}{2}r_2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align} \]

故 \(r(A) = 2 < 3\)，即向量组 \(A\) 线性相关。

最大无关组与向量组的秩 ¶

定义 ¶

设有向量组 \(A\)，如果能在 \(A\) 中选出 \(r\) 个向量 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\)，满足

向量组 \(A_0: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\) 线性无关
向量组 \(A\) 中任意 \(r+1\) 个向量（若存在）都线性相关

那么称向量组 \(A_0: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\) 是向量组 \(A\) 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组。

最大无关组所含向量的个数称为向量组 \(A\) 的秩，记作 \(R_A\)。

Tip

定义的描述有点抽象，这里通过一个例子来说明:

现有三维向量组 \(A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_m)\)，其中 \(\alpha_1 = (1, 0, 0)^T\), \(\alpha_2 = (0, 1, 0)^T\), \(\alpha_3 = (0, 0, 1)^T\)

显然，这个向量组中的三个向量是三维坐标的三个单位向量，不在同一平面内，因此它们是线性无关的。

现给出任意向量 \(\beta = (a, b, c)^T\)，显然任意的 \(a, b, c\) 都可以使得 \(\beta\) 表示为 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 的线性组合，即 \(a, b, c \in \mathbb{R}\)，都有 \(k_1, k_2, k_3 \in \mathbb{R}\)，使得 \(\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 \in A\)。

这里就称 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 是向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_m\) 的一个最大无关组，且 \(R_A = 3\)。

简单来说（不严谨），这里的三维向量组 \(A_0: \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 可以作为一个基底去表示三维向量组 \(A\) 中的其他向量。

例题 ¶

⭐求向量组 \(\alpha_1 = (-2, 1, 0, 3)^T, \alpha_2 = (1, -3, 2, 4)^T, \alpha_3 = (3, 0, 2, -1)^T, \alpha_4 = (2, -2, 4, 6)^T\) 的秩及一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示。

解:

化最简形:

\[ \begin{align} A &= (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & -3 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 2 & 4 \\ 3 & 4 & -1 & 6 \end{pmatrix} \\ &\xrightarrow{r_2 + \frac{1}{2}r_1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align} \]

故其秩 \(r(A) = 3\)

最大无关组为 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)（首非零元所在列的向量）

其余向量 \(\alpha_4 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3\)（\(\alpha_4\) 所在列的元素分别对应为 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 的系数）
求 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) 的秩与一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示。

解:

显然，向量组 \(A\) 已经是一个行最简形矩阵，其秩 \(r(A) = 2\)

最大无关组为 \(\alpha_1, \alpha_2\)

\(\alpha_3 = 3\alpha_1 + 2\alpha_2\)

\(\alpha_4 = 4\alpha_1 + \alpha_2\)
求 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) 的秩与一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示。

解:

\(r(A) = 3\)

最大无关组为 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4\)

\(\alpha_3 = 2\alpha_1 + 2\alpha_2\)

\(\alpha_5 = 4\alpha_1 + 3\alpha_2 - 8\alpha_4\)