相似矩阵¶

求特征值与特征向量¶

求一个矩阵的特征向量大致可分为两步:

1. 求特征值 \(\lambda_i\) （通过特征多项式 \(|A - \lambda_i E| = 0\) 求解）

2. 求 \((A - \lambda_i E)x = 0\) 的基础解系（将 \((A - \lambda_i E)\) 看作一个系数矩阵，\((A - \lambda_i E)x = 0\) 其实就是一个齐次线性方程组）

例题¶

1. 求矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\) 的特征值

   解:

   依题可得矩阵 \(A\) 的特征多项式为:

   \[ \begin{align} |A - \lambda E| &= \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ -1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} \\ &= (3 - \lambda)^2 - (-1)^2 = (\lambda - 4)(\lambda - 2) = 0 \end{align} \]

   解得 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_1 = 4\), \(\lambda_2 = 2\).

2. 求矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) 的特征值和特征向量

   解:

   \[ |A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 0 & 0 \\ 1 & 2 - \lambda & -1 \\ 1 & 0 & 1 - \lambda \end{vmatrix} \]

   按行（列）展开得:

   \[ \begin{align} 原式 &= (2 - \lambda)(-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ 0 & 1 - \lambda \end{vmatrix} \\ &= (2 - \lambda)^{2}(1 - \lambda) = 0 \end{align} \]

   解得 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = \lambda_3 = 2\).

   • \(\lambda_1 = 1\) 时，解 \((A - E)x = 0\)

     \[ A - E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

     得 \(\begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 - x_3 = 0 \end{cases}\)

     令 \(x_3 = 1 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 1\)，得解向量 \(\alpha_1 = (0, 1, 1)^T\)

     故 \(\lambda_1 = 1\) 对应的全部特征向量为 \(k_1(0, 1, 1)^T \quad (k_1 \neq 0)\)

   • \(\lambda_2 = \lambda_3 = 2\) 时，解 \((A - 2E)x = 0\)

     \[ A - 2E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

     得 \(x_1 - x_3 = 0\)

     令 \(x_2 = 1, x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = 0\)，得解向量 \(\alpha_2 = (0, 1, 0)^T\)

     令 \(x_2 = 0, x_3 = 1 \Rightarrow x_1 = 1\)，得解向量 \(\alpha_3 = (1, 0, 1)^T\)

     故 \(\lambda_2 = \lambda_3 = 2\) 对应的全部特征向量为 \(k_2(0, 1, 0)^T + k_3(1, 0, 1)^T\) (\(k_2, k_3\) 不全为 \(0\))

相似矩阵¶

设 \(A, B\) 为 \(n\) 阶矩阵，若存在可逆矩阵 \(P\)，使得 \(P^{-1}AP = B\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 相似，记作 \(A \sim B\)。

对 \(A\) 进行运算 \(P^{-1}AP\) 称为对 \(A\) 进行相似变换，可逆矩阵 \(P\) 称为相似变换矩阵。

相似对角化¶

若 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 与对角矩阵 \(\varLambda\) 相似，则 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\) 为 \(A\) 的 \(n\) 个特征值。

其中 \(\varLambda\) 为对角矩阵，\(\lambda_i\) 为 \(A\) 的特征值。

在相似矩阵中，相似对角化是考察的重点，即求出相似变换矩阵 \(P\) 使得一个矩阵 \(A\) 相似于一个对角矩阵 \(\varLambda\)。

求解相似变换矩阵¶

求一个矩阵的相似变换矩阵大致可分为以下步骤:

1. 求出矩阵 \(A\) 的特征值 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\)

2. 求出基础解系 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)

3. \(P = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)\)

例题¶

1. 已知矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}\)，判断 \(A\) 能否对角化，若能，求出相似变换矩阵 \(P\) 使得 \(P^{-1}AP\) 对角化

   解:

   \[ |A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 0 & 1 - \lambda & 0 \\ 0 & 3 & 4 - \lambda \end{vmatrix} \]

   按第一列展开得

   \[ 原式 = (1 - \lambda)^2(4 - \lambda) = 0 \]

   解得特征值 \(\lambda_1 = 4\), \(\lambda_2 = \lambda_3 = 1\)

   • \(\lambda_1 = 4\) 时，解 \((A - 4E)x = 0\)

     \[ A - 4E = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

     得 \(\begin{cases} x_1 = \frac{1}{3}x_3 \\ x_2 = 0 \\ \end{cases}\)

     令 \(x_3 = 3 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 0\)，得解向量 \(\alpha_1 = (1, 0, 3)^T\)

   • \(\lambda_2 = \lambda_3 = 1\) 时，解 \((A - E)x = 0\)

     \[ A - E = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

     得 \(x_2 + x_3 = 0\)

     令 \(x_1 = 1, x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = 0\)，得解向量 \(\alpha_2 = (1, 0, 0)^T\)

     令 \(x_1 = 0, x_3 = 1 \Rightarrow x_2 = -1\)，得解向量 \(\alpha_3 = (0, -1, 1)^T\)

     矩阵 \(A\) 有三个线性无关的特征向量，故 \(A\) 能相似对角化，且有相似变换矩阵 \(P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) 使得 \(P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 4 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix}\)

正交相似对角化¶

在求相似变换矩阵的基础上要求将其化为正交矩阵，即满足 \(P^{-1} = P^T\) 的矩阵。

求解正交相似变换矩阵的大致步骤如下:

1. 求出矩阵 \(A\) 的特征值 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\)

2. 求出基础解系 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\)

3. 正交化

4. 单位化

5. 构造正交矩阵 \(P = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)\)

特征值的性质¶

1. 特征值的和等于矩阵主对角线的和: \(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}\)，称为矩阵的迹，记作 \(tr(A)\)

2. 特征值的积等于矩阵的行列式: \(\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|\)

3. 若 \(A\) 的特征值为 \(\lambda\)，则

   矩阵	\(kA\)	\(A^2\)	\(aA + bE\)	\(A^m\)	\(A^{-1}\)	\(A^{*}\)
   特征值	\(k\lambda\)	\(\lambda^2\)	\(a\lambda + b\)	\(\lambda^m\)	\(\frac{1}{\lambda}\)	\(\frac{\|A\|}{\lambda}\)

例题¶

1. 已知 \(A\) 的特征值为 \(1, 2, 3\)，求 \(|A|\)

   解:

   \[ |A| = 1 \times 2 \times 3 = 6 \]

2. 已知 \(A\) 的三个特征值为 \(1, -2, 3\)，求 \(|A^{2} + A - E|\)

   解:

   \[ A^2 + A - E \rightarrow \lambda^2 + \lambda - 1 \]

   • \(\lambda = 1\) 时 \(\lambda^2 + \lambda - 1 = 1\)

   • \(\lambda = -2\) 时 \(\lambda^2 + \lambda - 1 = 1\)

   • \(\lambda = 3\) 时 \(\lambda^2 + \lambda - 1 = 11\)

   得 \(A^2 + A - E\) 的特征值为 \(1, 1, 11\)

   故 \(|A^2 + A - E| = 1 \times 1 \times 11 = 11\)