矩阵的初等变换¶
矩阵方程¶
设 \(A\), \(B\) 均为可逆矩阵
常见的方程都可以转化为以下几种基本形式:
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\(AX = C\)
矩阵两边同时左乘 \(A^{-1}\) 即可, 即:
\[ A^{-1}AX = A^{-1}C \]故解为 \(EX = A^{-1}C\), 即
\[ X = A^{-1}C \]
Warning
注意 \(A\) 和 \(A^{-1}\) 的顺序, 且不得将矩阵置于分母：
Failure
这是一个典型错误。\(A^{-1} \not ={\frac{1}{A}}\)，不存在后者这个概念。
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\(XA = C\)
同理，对于这个形式，矩阵两边同时右乘 \(A^{-1}\) 即可, 即:
\[ XAA^{-1} = CA^{-1} \]故解为 \(EX = CA^{-1}\), 即
\[ X = CA^{-1} \] -
\(AXB = C\)
对于这个形式，矩阵两边同时左乘 \(A^{-1}\) 加右乘 \(B^{-1}\) 即可, 即:
\[ A^{-1}AXBB^{-1} = A^{-1}CB^{-1} \]故解为 \(EXE = A^{-1}CB^{-1}\), 即
\[ X = A^{-1}CB^{-1} \]
Example
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解矩阵方程 \(AX = 2X + B\), 其中 \(A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\).
-
解:
将方程变形为 \(AX - 2X = B\), 即 \((A - 2E)X = B\)
又 \(A - 2E = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\), \(|A- 2E| = -2 \not = 0\), 故 \(A - 2E\) 可逆
等式两侧同时乘以 \((A - 2E)^{-1}\), 化简得 \(X = (A - 2E)^{-1}B\).
又有 \((A - 2E)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)
故 \(X = (A - 2E)^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 3 \\ -4 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}\)
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⭐初等变换¶
定义¶
初等变换分为初等行变换和初等列变换。有三种初等变换:
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交换两行(列)
\[ \begin{pmatrix} R_i \\ R_j \end{pmatrix} \xrightarrow{r_i \leftrightarrow r_j} \begin{pmatrix} R_j \\ R_i \end{pmatrix} \] -
某行(列)乘以非零常数 \(k\)
\[ \begin{pmatrix} R_i \\ R_j \end{pmatrix} \xrightarrow{kr_i} \begin{pmatrix} kR_i \\ R_j \end{pmatrix} \] -
某行(列)乘以非零常数 \(k\) 加到另一行(列)
\[ \begin{pmatrix} R_i \\ R_j \end{pmatrix} \xrightarrow{r_i + kr_j} \begin{pmatrix} R_i + kR_j \\ R_j \end{pmatrix} \]
行阶梯形矩阵¶
判断的一个简单方法: 画楼梯
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阶梯线下方全为 \(0\)
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竖线每次只经过一个数
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横线可经过多个数
行最简形矩阵¶
在行阶梯行矩阵的基础上新增如下几点:
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每行的首非零元（最靠近竖线的数）为 \(1\)
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首非零元所在列的其余元素为 \(0\)
标准形¶
若矩阵的左上角可分离出一个单位矩阵，且其他元素均为 \(0\)，则称该矩阵为标准形。简记作：
Example
注意标准形不一定是方阵以下矩阵都是标准形：
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
初等变换的应用¶
最主要的应用就是将矩阵化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵:
普通矩阵 -> 行阶梯形矩阵 -> 行最简形矩阵 -> 标准形
向行阶梯形矩阵或行最简形矩阵的变换过程可遵循从左向右逐列进行的原则，不易出错。
若只将矩阵变换至行阶梯形矩阵，则结果不唯一，但若进一步转换至行最简形矩阵，则结果唯一。
在后续学习中，以下求解都需要使用到矩阵的行最简形:
初等矩阵¶
定义¶
单位矩阵经过一次初等变换后得到的新矩阵称为初等矩阵。所以三种初等变换就对应着三种初等矩阵:
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交换第 \(i\) 行和第 \(j\) 行(列)，记作 \(E(i, j)\)
\[ E(1, 2) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] -
第 \(i\) 行(列)乘以非零常数 \(k\)，记作 \(E(i(k))\)
\[ E(2(k)) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] -
第 \(j\) 行(第 \(i\) 列)乘以非零常数 \(k\) 加到第 \(i\) 行(第 \(j\) 列)，记作 \(E(ij(k))\)
\[ E(23(k)) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
性质¶
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初等矩阵的行列式均不为 \(0\)
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\(|E(i, j)| = -1\), \(|E(i(k))| = k\), \(|E(ij(k))| = 1\)
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故初等矩阵均可逆, 且有其逆矩阵为同类型的初等矩阵:
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\(E(i, j)^{-1} = E(i, j)\)
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\(E(i(k))^{-1} = E(i(\frac{1}{k}))\)
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\(E(ij(k))^{-1} = E(ij(-k))\)
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初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵
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\(E(i, j)^T = E(i, j)\)
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\(E(i(k))^T = E(i(k))\)
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\(E(ij(k))^T = E(ji(k))\)
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初等矩阵与初等变换的关系¶
设 \(A\) 为 \(m \times n\) 矩阵, 则有:
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对 \(A\) 进行一次初等行变换, 相当于用同类型的 \(m\) 阶初等矩阵左乘 \(A\)
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\(A \xrightarrow{r_i \leftrightarrow r_j} E(i, j)A\)
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\(A \xrightarrow{kr_i} E(i(k))A\)
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\(A \xrightarrow{r_i + kr_j} E(ij(k))A\)
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同理，对 \(A\) 进行一次初等列变换, 相当于用同类型的 \(n\) 阶初等矩阵右乘 \(A\)
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\(A \xrightarrow{c_j \leftrightarrow c_k} AE(j, k)\)
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\(A \xrightarrow{kc_j} AE(j(k))\)
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\(A \xrightarrow{c_j + kc_k} AE(jk(k))\)
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矩阵的秩¶
定义¶
最高阶非零子式¶
在 \(m \times n\) 矩阵 \(A\) 中, 任取 \(k\) 行 \(k\) 列, 位于这些行列交叉处的 \(k^2\) 个元素, 不改变其位置次序所构成的 \(k\) 阶行列式, 称为矩阵 \(A\) 的 \(k\) 阶子式.
若 \(A\) 中存在一个不等于零的 \(r\) 阶子式, 且所有 \(r + 1\) 阶子式（如果有的话）全为零, 则称 \(D\) 为矩阵 \(A\) 的最高阶非零子式, 阶数 \(r\) 称为矩阵 \(A\) 的秩, 记作 \(r(A)\), 且有\(r(A) = 0\) 当且仅当 \(A = O\), 即零矩阵的秩为 \(0\).
秩的定义
\(r(A) = n\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\) 至少有一个 \(n\) 阶子式不等于 \(0\) 且所有 \(n + 1\) 阶子式全为零 \(0\)
Tip
不存在 \(r + 1\) 阶子式不等于 \(0\) 且所有 \(r + 2\) 阶子式（若有）全为零的情况, 从行列式按行(列)展开的内容中不难看出, 若 \(r + 1\) 的阶子算式全为零, 即为 \(r + 2\) 的代数余子式全为零, 而行列式按行(列)展开后, 每一项都包含一个代数余子式, 它们全为零, 故 \(r + 2\) 阶子式必全为零.
性质¶
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\(0 \leq r(A) \leq \min\{m, n\}\)
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\(r(A) = r(A^T) = r(kA)\), \((k \not = 0)\)
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若 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵:
- \(A\) 满秩 \(\Longleftrightarrow\) \(r(A) = n\) \(\Longleftrightarrow\) \(|A| \not ={0}\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\) 可逆 \(\Longleftrightarrow\) \(A\) 的行最简形矩阵为单位矩阵
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\(r(AB) \leq r(A)\), \(r(AB) \leq r(B)\)
例题¶
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设 \(A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}\), 求 \(r(A)\).
解:
\[ \begin{align} A &= \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & x \\ 0 & x - 1 & 1 - x \\ 0 & 1 - x & 1 - x^2 \end{pmatrix} \\ &\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & x \\ 0 & x - 1 & 1 - x \\ 0 & 0 & (1 - x)(x + 2) \end{pmatrix} \end{align} \]分类讨论:
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当 \(\begin{cases} x - 1 \not = 0 \\ (1 - x)(x + 2) \not = 0 \end{cases}\) 时，即 \(x \not = 1\) 且 \(x \not = -2\)，此时 \(r(A) = 3\)
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当 \(\begin{cases} x + 2 = 0 \\ (1 - x)(x + 2) \not = 0 \end{cases}\) 时，即 \(x = -2\)，此时 \(r(A) = 2\)
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当 \(\begin{cases} x - 1 = 0 \\ (1 - x)(x + 2) = 0 \end{cases}\) 时，即 \(x = 1\)，此时 \(r(A) = 1\)
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