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矩阵的行列式计算

对矩阵、逆矩阵中涉及到的行列式计算做个汇总，方便速查。

⭐常用性质

  • \(|kA| = k^{n}|A|\)

  • \(|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}\)

  • \((kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}\)

  • \(A^{*} = |A|A^{-1}\)

  • \(|A^{*}| = |A|^{n - 1}\)

  • \(|AB| = |BA| = |A||B|\)

例题

  1. 设 \(A\) 为三阶矩阵，且 \(|A| = 2\)，求 \(|3A|\)，\(|A^{-1}|\)，\(|A^{*}|\)

    解:

    \[ |3A| = 3^{3}|A| = 27 \times 2 = 54 \]
    \[ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{2} \]
    \[ |A^{*}| = |A|^{n - 1} = 2^{3 - 1} = 4 \]

  2. 设 \(A\)，\(B\) 都是 \(n\) 阶方阵，且 \(|A| = 3\), \(|B| = 2\), 求 \(|\frac{1}{3} A^{*}B^{-1}|\)

    解:

    \[ \begin{align} |\frac{1}{3} A^{*}B^{-1}| &= |\frac{1}{3} A^{*}||B^{-1}| \\ &= (\frac{1}{3})^{n} |A^{*}| |B^{-1}| \\ &= (\frac{1}{3})^{n} |A|^{n - 1} \frac{1}{|B|} \\ &= (\frac{1}{3})^{n} 3^{n - 1} \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{6} \end{align} \]

  3. 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，且 \(|A| = 2\), 求 \(|(-\frac{1}{4}A)^{-1} + A^{*}|\)

    解:

    \[ \begin{align} |(-\frac{1}{4}A)^{-1} + A^{*}| &= |-4A^{-1} + |A|A^{-1}| \\ &= |-4A^{-1} + 2A^{-1}| = |-2A^{-1}| \\ &= (-2)^{n} \cdot \frac{1}{|A|} = (-2)^{n} \cdot \frac{1}{2} \\ &= (-1)^{n} \cdot 2^{n - 1} \end{align} \]