线性方程组 ¶

\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \end{cases} \]

可简记作 \(Ax = 0\)。使用矩阵表示可记为:

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \]

解齐次线性方程组 ¶

解一个齐次线性方程组，通常可分为三个步骤:

判断方程组是否有非零解

系数矩阵的秩 \(R(A)\) 与未知量个数 \(n\) 的关系决定了方程组是否有非零解：
- 若 \(R(A) = n\)，则方程组只有零解
- 若 \(R(A) < n\)，则方程组有无穷多解
求解向量 \(\mathbb{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T\)
表示通解

Example

求解齐次线性方程组的通解: \(\begin{cases} 3x_1 - 6x_2 - 4x_3 + x_4 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \\ 2x_1 - 4x_2 - 6x_3 + 2x_4 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + 7x_3 - 3x_4 = 0 \end{cases}\)

解:

依题可得线性方程组的系数矩阵为 \(A = \begin{pmatrix} 3 & -6 & -4 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 \\ 2 & -4 & -6 & 2 \\ 1 & -2 & 7 & -3 \end{pmatrix}\)

对 \(A\) 进行初等行变换, 化简至行最简形矩阵:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -\frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

可得 \(R(A) = 2 < 4\)，故方程组有无穷多解，且基础解系含 \(4 - 2 = 2\) 个线性无关的解向量:

\[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 - \frac{1}{5}x_4 = 0 \\ x_3 - \frac{2}{5}x_4 = 0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2x_2 + \frac{1}{5}x_4 \\ x_3 = \frac{2}{5}x_4 \\ \end{cases} \]

令 \(x_2 = 1, x_4 = 0\)，可得 \(x_1 = 2, x_3 = 0\)，故 \(\alpha_1 = (2, 1, 0, 0)^T\)

令 \(x_2 = 0, x_4 = 1\)，可得 \(x_1 = \frac{1}{5}, x_3 = \frac{2}{5}\)，故 \(\alpha_2 = (\frac{1}{5}, 0, \frac{2}{5}, 1)^T\)

故方程组的通解为:

\[ x = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 = k_1 (2, 1, 0, 0)^T + k_2 (\frac{1}{5}, 0, \frac{2}{5}, 1)^T \quad k_1, k_2 \in \mathbb{R} \]
Tip
- 基础解系中，\(x_n\) 的系数与系数矩阵的行最简行矩阵的每行元素一一对应
- 最终要表示的 \(x_n\) 是首非零元所在列的向量（这里是 \(x_1\) 和 \(x_3\)），其余的变量（这里是 \(x_2\) 和 \(x_4\)）称为自由变量
- 自由变量可以取任意值，但不能全为 \(0\)
- 不同的解向量线性无关，因此自由变量通常取 \(1\) 和 \(0\) 的组合，即形如单位向量的形式

非齐次线性方程组 ¶

定义 ¶

形如下式的线性方程组称为非齐次线性方程组:

\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases} \]

与齐次线性方程组相比就是常数项不全为 \(0\)。简记作 \(Ax = b\)。

解非齐次线性方程组 ¶

解一个非齐次线性方程组的步骤大致与齐次线性方程组相同，但是多一个求非齐次特解的步骤。

判定方程组解的情况的方法如下:

若 \(R(A) \neq R(A\ |\ \beta)\)，则方程组无解
若 \(R(A) = R(A\ |\ \beta) = n\)，则方程组有唯一解
若 \(R(A) = R(A\ |\ \beta) < n\)，则方程组有无穷多解

其中 \(R(A)\) 为系数矩阵的秩，\(R(A\ |\ \beta)\) 为增广矩阵的秩。

在非齐次线性方程组有无穷解的情况下，通解为对应齐次线性方程组的通解与非齐次特解的和。

Example

求解非齐次线性方程组的通解: \(\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 - x_4 = 1 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4 \\ 4x_1 + 3x_2 - x_3 - x_4 = 6 \\ x_1 + 2x_2 - 4x_3 - 4x_4 = -1 \end{cases}\)

解:

依题可得线性方程组的增广矩阵为 \((A\ |\ \beta)\):

\[ (A\ |\ \beta) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 4 \\ 4 & 3 & -1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -4 & -4 & -1 \end{array}\right) \]

对 \((A\ |\ \beta)\) 进行初等行变换, 化简至行最简形矩阵得:

\[ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \]

可得 \(R(A) = R(A\ |\ \beta) = 2 < 4\)，故方程组有无穷多解，且其对应齐次线性方程组的通解含 \(4 - 2 = 2\) 个线性无关的解向量:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_3 + 2x_4 = 0 \\ x_2 - 3x_3 - 3x_4 = 0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = -2x_3 - 2x_4 \\ x_2 = 3x_3 + 3x_4 \\ \end{cases} \]

令 \(x_3 = 1, x_4 = 0\)，可得 \(x_1 = -2, x_2 = 3\)，故 \(\alpha_1 = (-2, 3, 1, 0)^T\)

令 \(x_3 = 0, x_4 = 1\)，可得 \(x_1 = -2, x_2 = 3\)，故 \(\alpha_2 = (-2, 3, 0, 1)^T\)

又有特解 \(\beta = (3, -2, 0, 0)^T\)

故通解为:

\[ X = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \beta = k_1 (-2, 3, 1, 0)^T + k_2 (-2, 3, 0, 1)^T + (3, -2, 0, 0)^T \quad k_1, k_2 \in \mathbb{R} \]
Tip
- 特解可以由方程组增广矩阵行最简形矩阵的最后一列直接得到，但注意行列之间一一对应的关系，例如有以下行最简形矩阵:
  
  \[ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \]
  
  则特解为 \((3, -2, 0, 2)^T\)，而不是 \((3, -2, 2, 0)^T\)，因为第四列是 \(x_4\) 的系数。

例题 ¶

方程组 \(\begin{cases} (1 + \lambda)x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 + (1 + \lambda)x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 + (1 + \lambda)x_3 =\lambda \end{cases}\)，当 \(\lambda\) 取何值时，方程组 \(1)\) 有唯一解；\(2)\) 无解； \(3)\) 有无穷多解，并求其通解。

解:

依题可得线性方程组的增广矩阵为 \((A\ |\ \beta)\):

\[ (A\ |\ \beta) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 + \lambda & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 + \lambda & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 + \lambda & \lambda \end{array}\right) \]

化阶梯形:

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 + \lambda & \lambda \\ 0 & \lambda & -\lambda & 3 - \lambda \\ 0 & 0 & -\lambda(3 + \lambda) & (1 - \lambda)(3 + \lambda) \end{array}\right) \]

\(1)\) 有唯一解时，\(R(A) = R(A\ |\ \beta) = 3\)，即 \(-\lambda(3 + \lambda) \neq 0 \Rightarrow \lambda \neq 0\) 且 \(\lambda \neq -3\)

\(2)\) 无解时，\(R(A) \neq R(A\ |\ \beta)\)，即 \(\begin{cases} -\lambda(3 + \lambda) = 0 \\ (1 - \lambda)(3 + \lambda) \neq 0 \end{cases}\) \(\Rightarrow \lambda = 0\)

\(3)\) 有无穷多解时，\(R(A) = R(A\ |\ \beta) < 3\)，即 \(\begin{cases} -\lambda(3 + \lambda) = 0 \\ (1 - \lambda)(3 + \lambda) = 0 \end{cases}\) \(\Rightarrow \lambda = -3\)

代入 \(\lambda = -3\) 得:

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \]

得其对应齐次线性方程组的基础解系 \(\begin{cases} x_1 - x_3 = 0 \\ x_2 - x_3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = x_3 \\ x_2 = x_3 \end{cases}\)

令 \(x_3 = 1\)，得解向量 \(\alpha = (1, 1, 1)^T\)

对于该非齐次线性方程组，又有特解 \(\beta = (-1, -2, 0)^T\)

故通解为:

\[ X = k \alpha + \beta = k (1, 1, 1)^T + (-1, -2, 0)^T \quad k \in \mathbb{R} \]