行列式的展开¶
定义¶
在学三阶行列式展开时，有提到“逐层展开”的概念。
\[ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \]
其中 \(A_{ij}\) 为元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式:
\[ A_{ij} = (-1)^{i + j} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]
简记为:
\[ A_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij} \]
\(M_{ij}\) 为元素 \(a_{ij}\) 的余子式。
上面提到的是按行展开，按列展开同理。
部分定理¶
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某行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为 \(0\)
\[ \sum_{j = 1}^{n} a_{ij}A_{kj} = 0 \quad (i \not ={k}) \]Example
\(D = \begin{vmatrix} 3 & -5 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{vmatrix}\)，求 \(3A_{31} - 5A_{32} + 2A_{33} + A_{34}\)
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解:
\[ 原式 = 0 \]
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求某一行代数余子式之和，相当于求将该行的元素全部替换成 \(1\) 的行列式的值
Example
\(D = \begin{vmatrix} 3 & -5 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{vmatrix}\)，求 \(A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14}\)
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解:
\[ \begin{align} 原式 &= 1 \times A_{11} + 1 \times A_{12} + 1 \times A_{13} + 1 \times A_{14} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \\ &= -2 \times 1 \times 2 \times -1 \times 1 = 4 \end{align} \]
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范德蒙德行列式¶
\[ \begin{align} D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (x_i - x_j) \end{align} \]
Example
\(D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \\ \end{vmatrix} = (4 - 3)(4 - 2)(4 - 1)(3 - 2)(3 - 1)(2 - 1) = 12\)