行列式 ¶

二阶三阶行列式 ¶

二阶、三阶行列式可直接展开运算，基本不需要技巧。

二阶行列式 ¶

\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \]

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \]

或逐层展开【按行（列）展开】:

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \]

逐层展开的方式适用于任意 \(n\) 阶行列式:

\[ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \]

其中 \(A_{ij}\) 为元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式, 即

\[ A_{ij} = (-1)^{i + j} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]

利用行列式解线性方程组 ¶

假设有线性方程组:

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]

使用克拉默法则，当系数行列式 \(D \neq 0\) 时，方程组的解为：

\[x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}\]

其中：

\(D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1\)
\(D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - c_2b_1\)
\(D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1\)

Example

求解方程组：

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \]

计算行列式：

\[D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 2 \times (-1) - 3 \times 4 = -2 - 12 = -14\]

\[D_x = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 7 \times (-1) - 3 \times 1 = -7 - 3 = -10\]

\[D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2 \times 1 - 7 \times 4 = 2 - 28 = -26\]

因此解为：

\[x = \frac{D_x}{D} = \frac{-10}{-14} = \frac{5}{7}, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-26}{-14} = \frac{13}{7}\]

排列与逆序数 ¶

简单来说，全排列就是 \(n\) 个自然数排成的一行的排列，简称 \(n\) 元排列；

逆序数就是一个排列中对每个元素进行检查，各个元素后分别有多少个元素小于这个元素，最后求和得出的数值，例如：

Example

现有排列 \(32514\)，则有:

\(3\) 后面有 2 个比其小的数字（\(2\)、\(1\)）
\(2\) 后面有 1 个比其小的数字（\(1\)）
\(5\) 后面有 2 个比其小的数字（\(2\)）
\(1\) 后面没有比其小的数字

故其逆序数就是

\[ t = \sum_{i = 1}^{5}t_i = 2 + 1 + 2 + 0 = 5 \]

另外不止这一种数法，“倒着数”也是可以的——可参考同济版线性代数课本上的数法，本质上都是一样的。

设有排序 \(p_1 p_2 \cdots p_n\)，则其逆序数记作

\[ t(p_1 p_2 \cdots p_n) \]
- 逆序数为奇数的排列称为奇排列
- 逆序数为偶数的排列称为偶排列
设有 \(n\) 个自然数，则其全排列为这 \(n\) 个自然数所有排列可能的集合，记作 \(S_{n}\)

\(n\) 阶行列式 ¶

定义与一般展开 ¶

\[ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]

简记作 \(det(a_{ij})\)

从全排列的定义中我们不难得出，\(n\) 阶行列式的展开式有 \(n!\) 项，其展开如下:

\[ \sum_{p_1 p_2 \cdots p_n \in S_{n}} (-1)^{t(p_1 p_2 \cdots p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2} \cdots a_{np_{n}} \]

各项的符号取决于对应行（列）展开的列（行）号排列的奇偶性。

⭐性质 ¶

性质1：行列式与它的转置行列式相等
性质2：对调行列式的某两行（列），行列式的值变号

这个不难理解，排列中的元素对调，必然会影响排列的奇偶性
- 推论：若行列式有两行（列）完全相同，则该行列式的值为 \(0\)
  
  对调完全相同的这两行，由性质2得 \(D = -D\)，即 \(D = 0\)。
性质3：行列式某一行（列）同系数可外提，类似四则运算的分配率（其实本质上就是乘法分配率）

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]

Warning

注意这里是有一行（列）中有完全一样的系数就可以外提一次，例如有以下行列式:

\[ \begin{vmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{n1} & ka_{n2} & \cdots & ka_{nn} \end{vmatrix} = k^n \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]
- 推论：行列式中如果有两行（列）成比例，则行列式的值为 \(0\)
  
  把比例系数提出去，再利用性质2的推论即可证明
性质4：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则该行列式等于下列两个行列式之和:

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} + a_{i1}^{'} & a_{i2} + a_{i2}^{'} & \cdots & a_{in} + a_{in}^{'} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1}^{'} & a_{i2}^{'} & \cdots & a_{in}^{'} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]

推论

若 \(n\) 阶行列式的每个元素都表示成两数之和，则它可被分解为 \(2^n\) 个行列式。如二阶行列式:

\[ \begin{vmatrix} a + x & b + y \\ c + z & d + w \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b + y \\ c & d + w \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & b + y \\ z & d + w \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & y \\ c & w \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & b \\ z & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & b \\ z & d \end{vmatrix} \]
性质5：把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去

例如将第 \(i\) 行乘上 \(k\) 加到第 \(j\) 行上，记作 \(r_i + kr_i\):

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \overset{r_i + kr_i}{=} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j1} + ka_{i1} & a_{j2} + ka_{i2} & \cdots & a_{jn} + ka_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} (i \not ={j}) \]

剩下的就是计算了（做题）。性质在计算上的应用还是蛮广泛的（~~考试爱考~~）。

克拉默法则 ¶

使用前提 ¶

方程个数 = 未知量个数
系数行列式 \(D \not ={0}\)

定义 ¶

对于 \(n\) 元线性方程组：

\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases} \]

设系数行列式为：

\[D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\]

将 \(D\) 中第 \(j\) 列用常数项 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) 替换，得到行列式 \(D_j\)：

\[D_j = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2,j-1} & b_2 & a_{2,j+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\]

在满足前提的条件下，则方程组有唯一解：

\[x_j = \frac{D_j}{D}, \quad j = 1, 2, \ldots, n\]

推论 ¶

对于齐次线性方程组（未知量个数等于方程个数且方程无常数项）:

\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \end{cases} \]

若其系数行列式 \(D \neq 0\)，则该方程组只有零解（唯一解）

这是一个充要条件，即：

\[ \text{若此齐次线性方程组只有零解} \Longleftrightarrow D \neq 0 \]

若其系数行列式 \(D = 0\)，则该方程组有非零解（无穷多解）

\[ \text{若此齐次线性方程组有非零解} \Longleftrightarrow D = 0 \]

行列式计算 ¶

一般通过性质将行列式变换成上三角行列式或下三角行列式，然后计算对角线元素的乘积。

或者通过按行列展开计算，但通常情况下需要结合性质进行化简，否则计算量会很大。

在化简前，最好先通过行列变换（性质二）将行列式左上角的元素变成 \(1\)，方便进行后续的化简。

特殊行列式 ¶

同列元素之和相同:

\[ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} \\ &\xlongequal{r_1 + r_2 + r_3 + r_4} \begin{vmatrix} 6 & 6 & 6 & 6 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} \\ &\xlongequal{r_2 - r_1, r_3 - r_1, r_4 - r_1} 6 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 6 \times 4 = 48 \end{aligned} \]
1. 将所有元素加到第一行
2. 提取公因子
3. 用第一行消去其他行
箭型行列式:

\[ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} \xlongequal{c_1 - c_2} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} \\ &\xlongequal{c_1 - c_3} \begin{vmatrix} -4 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} \xlongequal{c_1 - c_4} \begin{vmatrix} -8 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} \\ &= -8 \times 2 \times 3 \times 4 = -192 \end{aligned} \]

采用逐列变换的方式进行化简。