逆矩阵 ¶

矩阵

伴随矩阵 ¶

定义 ¶

\(n\) 阶方阵 \(A = (a_{ij})\) 的行列式 \(|A|\) 的各个元素的代数余子式 \(A_{ij}\) 构成的矩阵，称为 \(A\) 的伴随矩阵，记作 \(A^*\)。即：

\[ A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} \]

Example

设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}\), 则有

\[ A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1, A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -5, A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \]

\[ A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -3, A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 3, A_{23} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \]

\[ A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2, A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -1, A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \]

故 \(A^* = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

即按行求，按列放.

Note

任意方阵都有伴随矩阵
只有方阵才有伴随矩阵

性质 ¶

对于任意方阵 \(A\), 有 \(A^*A = AA^* = |A|E\)
若 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，则 \(|A^*| = |A|^{n-1}\)
（求伴随与转置可交换）若 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，则 \((A^*)^T = (A^T)^*\)
若 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，\(k\) 为常数，则 \((kA)^* = k^{n-1}A^*\)
若有 \(2\) 阶方阵 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), 则 \(A^* = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)，即主对角线元素互换，副对角线元素变号

Example

设 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\)，求 \(|2A^*|\)

\[ \begin{align} |2A^*| & = 2^3 |A^*| = 2^3 \cdot |A|^{3-1} = 8 |A|^{2} \\ & = 8 \times (5 \times (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix})^{2} \\ & = 8 \times 25 = 200 \end{align} \]

逆矩阵 ¶

Abstract

判断矩阵是否可逆
求矩阵的逆矩阵

定义 ¶

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，若存在 \(n\) 阶方阵 \(B\)，使得

\[ AB = BA = E \]

则称 \(A\) 可逆，且称 \(B\) 为 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(A^{-1}\)。

Note

并非所有方阵都有逆矩阵，只有两个矩阵相乘为单位矩阵时，才称二者互为逆矩阵。故方阵可分为可逆矩阵和不可逆矩阵
若 \(A\) 可逆，则其逆矩阵是唯一的
- 证明:
  
  设 \(A\) 可逆，且存在两个逆矩阵 \(B\) 和 \(C\)，即 \(AB = BA = E\) 和 \(AC = CA = E\)。
  
  于是有 \(B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C\)，故 \(A\) 的逆矩阵唯一。且有
  
  \[ AA^{-1} = A^{-1}A = E \]
设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，若 \(|A| \not ={0}\)，则称 \(A\) 为非奇异矩阵，若 \(|A| = 0\)，则称 \(A\) 为奇异矩阵
方阵 \(A\) 可逆的充要条件是 \(|A| \not ={0}\)，即 \(A\) 为非奇异矩阵
（伴随矩阵求逆矩阵法）若 \(A\) 可逆，则 \(A\) 的伴随矩阵也可逆，且 \(A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*\)
设 \(A\)、\(B\) 为 \(n\) 阶方阵，若 \(AB = E\)（或 \(BA = E\)），则 \(B = A^{-1}\)

性质 ¶

若 \(A\) 可逆，则 \(A\) 的逆矩阵也可逆，即 \((A^{-1})^{-1} = A\)
- 证明:
  
  因为 \(A\) 可逆，故 \(|A| \not ={0}\)，且存在 \(A^{-1}\)，使得 \(AA^{-1} = E\)。
  
  于是有 \((A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1}E = (A^{-1})^{-1}(AA^{-1}) = (A^{-1})^{-1}A = E\)，故 \((A^{-1})^{-1} = A\)。
（转置与求逆可交换）若 \(A\) 可逆，则 \(A\) 的转置矩阵也可逆，即 \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)
- 证明:
  
  因为 \(A\) 可逆，故 \(|A| \not ={0}\)，且 \(|A^T| = |A| \not ={0}\)。
  
  则有 \(A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = E^T = E\)，故 \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)。
若 \(A\) 可逆，\(k\) 为非零常数，则 \(kA\) 也可逆，且 \((kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}\)
- 证明:
  
  因为 \(A\) 可逆，故 \(|A| \not ={0}\)，且 \(|kA| = k^n |A| \not ={0}\)。
  
  则有 \(\not{k}A \cdot \frac{1}{\not{k}}A^{-1} = AA^{-1} = E\)，故 \((kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}\)。
（求伴随与求逆可交换）若 \(A\) 可逆，则 \(A^*\) 也可逆，且 \((A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \frac{1}{|A|}A\)
- 证明:
  
  因为 \(A\) 可逆，故 \(|A| \not ={0}\)，且 \(|A^*| = |A|^{n-1} \not ={0}\)。
  
  则有 \((\frac{1}{|A|}A)A^* = A^*(\frac{1}{|A|}A) = E\)，故 \((A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}A\)。
  
  又 \(A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*\)，即 \(A^* = |A|A^{-1}\)，变形则有 \((A^{-1})^* = |A^{-1}|(A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A|}A\)。
若 \(A\)、\(B\) 为同阶的可逆方阵，则 \(AB\) 也可逆，且 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
- 证明:
  
  因为 \(A\)、\(B\) 为同阶的可逆方阵，故 \(|A| \not ={0}\)，\(|B| \not ={0}\)，且 \(|AB| = |A||B| \not ={0}\)。
  
  则有 \(AB \cdot B^{-1}A^{-1} = AEA^{-1} = AA^{-1} = E\)，故 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。
- 推论:
  
  若 \(A\) 可逆，\(m\) 为正整数，则 \(A^k\) 也可逆，且 \((A^k)^{-1} = (A^{-1})^k\)
  - 证明:
    
    把性质 \(5\) 的 \(B\) 替换成 \(A^{k-1}\) 即可。
若 \(A\) 可逆，则 \(|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}\)
- 证明:
  
  因为 \(A\) 可逆，故 \(|A| \not ={0}\)。
  
  则有 \(AA^{-1} = E\)，故有 \(|A||A^{-1}| = |E| = 1\)，即 \(|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}\)。

Example

已知 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}\)，求 \((A^*)^{-1}\)
- 解:
  
  \(A^* = |A|A^{-1}\)，故有
  
  \[ \begin{align} \text{原式} & = (|A|A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A|}(A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A|}A \\ & = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \end{align} \]
已知 \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)，求 \(|A|\)
- 解:
  
  \(A^{-1}\) 为上三角矩阵，故有
  
  \[ |A^{-1}| = 1 \times 2 \times 2 = 4 \]
  
  又 \(|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}\)，故有
  
  \[ |A| = \frac{1}{|A^{-1}|} = \frac{1}{4} \]
设 \(A\) 为 \(3\) 阶方阵，且 \(|A| = 2\)，求 \(|A^*|\)
- 解:
  
  \[ |A^*| = |A|^{n-1} = 2^{3-1} = 4 \]
设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)，求 \(A^{-1}\)
- 解:
  
  \(A\) 为块下三角矩阵，可写作
  
  \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \]
  
  其中 \(B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
  
  又 \(B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)，故有
  
  \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & B^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \]
已知 \(A\)、\(B\)、\(C\) 均为 \(n\) 阶可逆方阵，且 \(ABC = E\)，求证 \(BCA = E\)
- 解:
  
  因为 \(A\)、\(B\)、\(C\) 均为 \(n\) 阶可逆方阵，故 \(BC\) 也可逆
  
  由 \(ABC = E\)，两边同时右乘 \((BC)^{-1}\) 得
  
  \[ ABC \cdot (BC)^{-1} = E \cdot (BC)^{-1} \]
  
  即 \(A = (BC)^{-1}\)
  
  故 \(BCA = BC \cdot (BC)^{-1} = E\)

计算方法 ¶

常用方法有两种: 伴随矩阵法和初等变换法。

伴随矩阵法 ¶

即定义中提到的

\[ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* \]

该方法仅适用于 \(A\) 为 \(2\) 阶或 \(3\) 阶方阵的情况，否则计算量较大。

初等变换法 ¶

\[ \begin{pmatrix} A & E \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} E & A^{-1} \end{pmatrix} \]

只通过初等行变换逐行依次进行变换即可求出 \(A^{-1}\)。