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叉积

叉积的标准定义

叉积的数值计算

结合数值与向量的几何意义，可以将叉积看作是平行四边形的有向面积:

结果的正负性取决于向量 \(\overrightarrow{v}\) 和 \(\overrightarrow{w}\) 的相对位置是否满足右手定则。

计算方面，涉及平行四边形的面积，这就可以联系到行列式的几何意义，因此就可以通过行列式计算向量的叉积:

设 \(\overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}\) 和 \(\overrightarrow{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}\)，则有

\[ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \begin{vmatrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \\ \end{vmatrix} \]

Tip

部分资料将向量写作行向量的形式，但这并不影响结果，因为行列式转置后值不变。

标准定义

严格意义上，上面的说法并不能很好地定义叉积。真正的叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量。

这个向量的长度等于原两个向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于平行四边形所在的平面，且满足右手定则。

\[ \overrightarrow{p} = \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \quad ||\overrightarrow{p}|| = ||\overrightarrow{v}|| ||\overrightarrow{w}|| \sin \theta \]

线性变换视角下的叉积

深入理解这部分内容，需要基于对对偶性的理解。

  1. 根据 \(\overrightarrow{v}\) 和 \(\overrightarrow{w}\) 定义一个三维到一维的线性变换

  2. 找到这个线性变换的对偶向量

  3. 证明这个对偶向量就是 \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\)

计算角度

考虑三维向量空间中两个向量的叉积:

设 \(\overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}\), \(\overrightarrow{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix}\)，则有

\[ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \begin{vmatrix} i & v_1 & w_1 \\ j & v_2 & w_2 \\ k & v_3 & w_3 \end{vmatrix} = i(v_2w_3 - v_3w_2) + j(v_1w_3 - v_3w_1) + k(v_1w_2 - v_2w_1) \]

基于对偶性，理解以下变换与计算过程:

\[ f(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}) = \begin{vmatrix} x & v_1 & w_1 \\ y & v_2 & w_2 \\ z & v_3 & w_3 \end{vmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} \begin{vmatrix} x & v_1 & w_1 \\ y & v_2 & w_2 \\ z & v_3 & w_3 \end{vmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} p_1 & v_1 & w_1 \\ p_2 & v_2 & w_2 \\ p_3 & v_3 & w_3 \end{vmatrix} \]

因此有:

\[ \begin{align} p_1 \cdot x + p_2 \cdot y + p_3 \cdot z =\ &x(v_2w_3 - v_3w_2) + \\ &y(v_1w_3 - v_3w_1) + \\ &z(v_1w_2 - v_2w_1) \end{align} \]

这时就不难得出:

\[ \begin{cases} p_1 = v_2w_3 - v_3w_2 \\ p_2 = v_3w_1 - v_1w_3 \\ p_3 = v_1w_2 - v_2w_1 \\ \end{cases} \]

几何角度

将向量 \(\overrightarrow{p}\) 和某个三维向量 \(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\) 点乘后，所得结果为一个由 \(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\) 和 \(\overrightarrow{v}\) 与 \(\overrightarrow{w}\) 所确定的平行六面体的有向体积。

也就是说，在上面的计算角度提到的线性函数 \(f(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix})\) 的作用就是将其输入向量 \(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\) 投影到垂直于 \(\overrightarrow{v}\) 和 \(\overrightarrow{w}\) 的直线上，然后与 \(\overrightarrow{v}\) 和 \(\overrightarrow{w}\) 所张成的平行四边形的面积相乘。

数值的正负依然能够通过右手定则快速理解。