Skip to content

求解线性方程组

Abstract

  • 每个线性方程组都有一个线性变换与之对应，当这个逆变换（逆矩阵）存在时，即可使用它求解唯一解。

  • 列空间的概念可以用于判断线性方程组是否有解。

  • 零空间的概念有助于理解所有可能的解的结构。

线性方程组

\[ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \\ \end{cases} \Rightarrow \overbrace{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}}^{A} \overbrace{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}}^{\overrightarrow{x}} = \overbrace{\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{bmatrix}}^{\overrightarrow{v}} \Rightarrow A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{v} \]

转化为如上形式，求解线性方程组的本质也就得以阐明了: 矩阵 \(A\) 代表一个三维向量空间的线性变换，因此求解线性方程组 \(A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{v}\) 就是寻找一个向量 \(\overrightarrow{x}\)，使得经过矩阵 \(A\) 的线性变换后，能够与向量 \(\overrightarrow{v}\) 重合。

逆矩阵、列空间和零空间

逆矩阵

\[ A^{-1}A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

相当于对向量空间做一次三维线性变换 \(A\)，然后又变回来，因此得到的向量空间与原向量空间重合。

那么结合上面的内容，求解线性方程组的本质就可以描述为如下形式:

\[ A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{v} \longrightarrow A^{-1}A\overrightarrow{x} = A^{-1}\overrightarrow{v} \longrightarrow \overrightarrow{x} = A^{-1}\overrightarrow{v} \]

矩阵可逆的充要条件

另外需要注意的是，矩阵 \(A\) 可逆的前提条件是 \(det(A) \not ={0}\)，即 \(A\) 为非奇异矩阵。

结合行列式的几何意义，当行列式的值为 \(0\) 时，表示其对应的线性变换（矩阵）将空间压缩到更低维的空间。从几何的角度来看，无法将一条直线“解压缩”成一个平面或是空间，因为这个过程要求将一个向量变换成一系列向量（平面束），变换前后的映射关系不唯一。但并不是说方程组无解，而是解不唯一。

所以说降维打击是不可逆的（？）

列空间

所有 \(A\overrightarrow{v}\) 的输出组成的向量空间。结合矩阵的本质理解，构成矩阵 \(A\) 的列向量都是变换后的基向量，现在把它们视为“基向量”，那么它们张成的向量空间就是矩阵 \(A\) 的列空间。

矩阵的秩

矩阵的秩表示矩阵的列空间（变换后的基向量张成的向量空间）的维度。

零空间

线性变换后被压缩到原点（零向量）的向量组成的向量空间。

例如，若一个三维线性变换将空间压缩到一个平面上（秩为 \(2\) 的矩阵），那么必然有一整条直线上的向量在变换后落在原点；同理若这个三维变换将空间压缩到一条直线上（秩为 \(1\) 的矩阵），那么必然有一个平面上的向量在变换后落在原点。

对于线性方程组而言，当向量 \(\overrightarrow{v}\) 恰好为零向量时，零空间给出的就是这个方程所有可能的解。