点积与对偶性¶
对偶性
自然而又出乎意料的对应关系
点积的标准定义¶
\[ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \end{bmatrix} = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n = \sum_{i=1}^{n} v_iw_i \]
对偶性在点积几何意义中的体现¶
多维空间到一维空间的线性变换¶
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \xrightarrow{L(\overrightarrow{v})} \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} \]
从线性变换的几何意义来看，变换后，在原有向量空间保持等距分布的点在变换后的向量空间（数轴）上仍会保持等距分布。
基于矩阵的组成与非方阵的本质，那么点积似乎就可以看作是两个向量矩阵的乘积:
\[ \begin{bmatrix} v_1 &v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{n} v_iw_i \]
按照线性变换的几何意义，这里的行矩阵 \(\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix}\) 就可以看作是将 \(n\) 维空间中的向量“投影”到一维空间（数轴）上，其中 \(v_i\) 表示向量在第 \(i\) 个维度上的分量。
矩阵向量乘积与点积的关系¶
这边有点没看懂
任意一个输出为一维的线性变换（行矩阵）在其自身的向量空间中都有唯一的对偶向量，因此应用该变换与使用其对偶向量做点积这两种操作的效果是等价的。