矩阵与线性变换¶

什么是线性变换¶

变换的概念¶

变换可以看作是函数的一种花哨的说法:

5          25
  \       /
2 -> f(x) -> 4
  /       \
6          36

只不过在线性代数中，输入输出从常规代数变成了向量:

之所以使用“变换”，是在暗示能够通过特定方式来可视化这一输入-输出关系，暗示学者使用“运动”的思维去思考这一过程。

线性变换的概念¶

线性变换是变换的一种，满足以下两个性质:

1. 变换前后， 直线在变换后仍保持直线

2. 变换前后， 原点在变换后仍保持原点

用数学语言表示为:

设 \(L: V \rightarrow W\)，若 \(\forall \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \in V\)、标量 \(\lambda \in \mathbb{F}\)，有:

则称 \(L\) 是线性变换。

线性变换在图像上的表现为保持网格线平行且等距分布。

线性变换的数值描述¶

前面学习向量概念时得知，向量空间中的所有向量都可以表示为基向量的线性组合。

基于线性变换的一个重要性质（变换前后，线性关系仍然不变），我们可以得出，变换前后的向量仍然可以使用相同的线性组合来描述:

这意味着，自需要根据变换后的 \(\overrightarrow{i'}\) 和 \(\overrightarrow{j'}\)，就能推断出变换后的 \(\overrightarrow{v'}\)。

一个二维线性变换仅需要四个数值即可完全确定: 分别是变换后基向量 \(\overrightarrow{i'}\) 和 \(\overrightarrow{j'}\) 的二维坐标:

线性变换与矩阵的联系¶

将变换后的基向量以列向量的形式组成一个二维矩阵 \(\begin{bmatrix} i'_x & j'_x \\ i'_y & j'_y \end{bmatrix}\)，对二维向量空间中任意向量 \(\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\) 的变换就可以描述为如下形式:

三维空间的线性变换¶

非方阵¶

现在有一个非方阵 \(\begin{bmatrix} a & d \\ b & e \\ c & f \end{bmatrix}\)，根据矩阵列空间的定义，其空间是由 \(\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix} d \\ e \\ f \end{bmatrix}\) 张成的向量空间。结合这点来看，就不难理解其本质是将二维空间映射到三维空间，因为尽管是三维空间的向量，但两个基向量只能张成一个平面。

变换的输入向量 \(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) 就是这个二维向量空间中的一个向量，其在变换后被映射到三维向量空间中的一个平面。

类似的，非方阵 \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}\)，由三个基向量张成，本质就是三维向量空间到二维向量空间中的一种“投影”²。