矩阵乘法与复合线性变换¶

概述¶

典型的线性变换在二维空间通常有旋转（\(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)）、剪切（\(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)）、缩放（\(\begin{bmatrix} m & 0 \\ 0 & n \end{bmatrix}\)）三种类型。

矩阵相乘的几何意义就是两个或多个线性变换相继作用，且作用的顺序应当从右到左依次进行（可以结合复合函数的 \(f(g(x))\) 理解与记忆）。

计算过程分析¶

设有二维矩阵 \(M_1 = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}\)、\(M_2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)

思考 \(M_2 M_1 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}\) 的计算过程:

将组成 \(M_1\) 的列向量提取出来，分别与 \(M_2\) 进行变换，得到:

因此最终的计算结果就是 \(\begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix}\)

这个结果是一个矩阵，表示二维线性变换 \(M_1\) 与 \(M_2\) 相继作用的组合变换。