关系模式的分解 ¶

在关系数据库理论中我们看到：一张「什么都装」的大表会带来冗余和操作异常。模式分解就是把 \(R\) 拆成多个子模式 \(\rho = \{R_1,\ldots,R_k\}\)，使每个子表职责更单一。分解要有标准，否则可能「拆坏了」。

规范化的直观目标 ¶

基本思想：一事一地——一个关系尽量只描述一个概念、实体或实体间的一种联系；不该放在一起的属性就分离出去。
过程（实操时可循环）：找候选码 → 列出函数依赖 → 若有决定因子不是候选码，把相关属性抽到新表，决定因子作新表的主码，在原表用外码引用 → 重复直到各表决定因子都是码级（或达到你选择的范式目标）。

Note

满足范式不是唯一真理；有时为查询性能会有意保留少量冗余，但要清楚代价。

实务权衡：尽量 BCNF；若 BCNF 分解会不能保持依赖，可降为 3NF，以求 无损 + 保持依赖。

好设计的三个取向：表达性（无损、保持依赖）、分离性（按范式拆开）、最小冗余（表个数与总属性别无谓膨胀）——第三点要与查询频率权衡。

定义：分解 \(\rho=\{R_1,\ldots,R_n\}\) 对关系 \(r\) 若满足

\[ r = \pi_{R_1}(r) \bowtie \pi_{R_2}(r) \bowtie \cdots \bowtie \pi_{R_n}(r) \]

（恒对任意合法 \(r\) 成立），则称 \(\rho\) 是 \(F\) 上的无损分解。

若连接后行数变多、出现原来没有的拼法，信息由确定变不确定，就是有损（课件中学号–课程–成绩错拆成「学号,课程号」与「学号,成绩」再连接会膨胀）。

\(\rho = \{R_1, R_2\}\) 为 \(R\) 的分解，当且仅当下面至少一条被 \(F^+\) 蕴含时，分解无损：

\[R_1 \cap R_2 \to R_1 - R_2 \quad\text{或}\quad R_1 \cap R_2 \to R_2 - R_1\]

即：公共属性能决定其中一侧「独有」的那部分属性。

建表：行对应 \(R_i\)，列对应属性；若 \(A_j \in R_i\) 填 \(a_j\)，否则填 \(b_{ij}\)。
对每个 \(X \to Y \in F\)，若两行在 \(X\) 上符号相同而 \(Y\) 上不同，则按规则把 \(Y\) 上符号统一（优先改成下标更小的 \(a\)）。
若某行出现全 \(a\)（\(a_1,\ldots,a_n\)），则无损；否则有损。

含义：把 \(F\) 投影到每个 \(R_i\)（只保留两端都在 \(R_i\) 中的依赖），得到 \(G = \bigcup_i \pi_{R_i}(F)\)；若 \(G\) 逻辑蕴含 \(F\) 中每一条依赖，则称分解 保持依赖。

Example

成绩(学号, 课程号, 教师 ID, 成绩)，教师 ID→课程号。若只拆成 R1(学号,课程号,成绩) 与 R2(学号,教师 ID)，则 教师 ID→课程号 无法在任何一张表内体现 → 不保持依赖。

Tip

检验时：对 \(F\) 中每个 \(X \to Y\)，在 \(G\) 上算 \(X^+_G\)，看是否包含 \(Y\)（算法细节见教材）。

Example

\(R(C,S,Z)\)，\(F=\{CS\to Z,\ Z\to C\}\)。\(\rho=\{SZ,\ CZ\}\) 可无损，但 不保持 \(CS\to Z\)（需自行推导验证）。

Example

\(R(A,B,C,D,E,F,G)\)，\(F=\{A\to B,\ A\to C,\ C\to D,\ C\to E,\ E\to FG\}\)。

候选码为 \(A\)；有传递链 \(A\to C\to \cdots\)，故不满 3NF。

常做法：把每个 FD 右部已单属性化后，每个依赖对应一张表（再合并左部相同的），例如：

\[ R_{12}(A,B,C), R_{34}(C,D,E), R_5(E,F,G) \]

使各表属 3NF 且常可做到 保持依赖（是否无损需按算法验证）。
\(U=\{C,T,H,R,S,G\}\)，\(F=\{CS\to G,\ C\to T,\ TH\to R,\ HR\to C,\ HS\to R\}\)。

\[ \rho=\{CSG,\ CT,\ THR,\ HRC,\ HSR\} \]

即按依赖拆开后保持依赖的 3NF 分解之一。

Abstract