数制与编码¶
进制计数制及其相互转换¶
进位计数制¶
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基数（\(r(2, 8, 10, 16)\)）: 表示该进制中每个数码位上可能的取值个数。数值逢 \(r\) 进一
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权重（\(w_i\)）: 表示该数码位上所代表的数值。例如，在十进制数 \(123.45\) 中，\(1\) 的权重为 \(10^2\)，\(2\) 的权重为 \(10^1\)，\(3\) 的权重为 \(10^0\)，\(4\) 的权重为 \(10^{-1}\)，\(5\) 的权重为 \(10^{-2}\)。
计算机科学中常用的进制有二进制、八进制、十进制和十六进制:
| 二进制 | 八进制 | 十进制 | 十六进制 |
|---|---|---|---|
| \(B\) | \(O\) | \(D\) | \(H\) / \(0x\) |
进制转换¶
二进制转换为八进制数和十六进制数¶
每三个二进制位对应一个八进制位。以小数点为中心开始向两边看，每三位一组，转换为对应的八进制数，不足三位时，在高位补零。
与二进制与八进制的相互转换类似，每四个二进制位对应一个十六进制位。
任意进制数转换为十进制数¶
各位数码位与其权值的乘积之和，即为该数对应的十进制数。
例如，二进制数 \(1011.01B\) 对应的十进制数为 \(1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} = 11.25\)。
十进制数转换为任意进制数¶
将十进制数使用短除法拆分成 \(2^n\ (n = 0, 1, \cdots)\) 之和即可。
短除法
将十进制数除以 \(2\)，取余数，直到商为 \(0\) 为止，将余数从下到上排列，即为对应的二进制数。
先将十进制数转换为二进制数，再按照上面提到的方法转换为八进制或十六进制。
BCD编码¶
二进制编码的十进制数（Binary-Coded Decimal，BCD），指用四位二进制数来表示一个十进制数中的一个数码。
8421码
8421码是一种有权码，即每个二进制位上的权值为 \(8, 4, 2, 1\)。
| 十进制数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8421码 | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 |
在使用8421码进行运算时，若计算结果不在上面的映射表中，则需要进行十进制调整，即加上 \(6\)（\(1010B\)），高位组不满四位时，在高位继续补零。
加6调整的原因
8421码有四个二进制位，可以表示 \(16\) 种状态，而十进制只有 \(10\) 种状态，有 \(6\) 种状态没有被使用，因此需要加上 \(6\) 进行调整，使得计算结果在8421码的映射表中。
ASCII码¶
ASCII码（American Standard Code for Information Interchange），是一种7位二进制编码（通常用 \(8\) 位表示一个字符，最高位为 \(0\)），用于表示 \(128\) 种字符。
在ASCII码中:
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所有数字、大写和小写字母被连续分配代码
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常见的ACSII码:
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'0': \((48)_{10} = (30)_{16} = (00110000)_2\) -
'A': \((65)_{10} = (41)_{16} = (01000001)_2\) -
'a': \((97)_{10} = (61)_{16} = (01100001)_2\)
若求存储单元存放的内容，则需要如上式所示使用 \(8\) 位二进制数表示；但如果是问ASCII码（值），则需使用 \(7\) 位二进制数表示。
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汉字的表示和编码¶
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区位码: 将汉字分为 \(94\) 个区，每个区有 \(94\) 个位，共 \(94 \times 94 = 8836\) 个汉字。
区位码的表示方法为：\(区码 + 位码\)，例如：
'中'的区位码为'1601'。 -
国标码（GB 2312 交换码）: 在区位码基础上，将区码和位码各加上 \(32\)（即 \(20H\)），使每个字节落在可打印的图形字符范围内，便于传输与交换。
公式：国标码 \(=\) 区位码 \(+ 2020H\)（区码、位码分别加 \(20H\)）。例如：
'中'的区位码为 \(5448\)（区 \(54\)、位 \(48\)，十六进制 \(3630H\)），国标码为 \(5650H\)。 -
汉字机内码: 计算机内部存储汉字时使用的编码。
在国标码基础上，将两个字节各加上 \(128\)（即 \(80H\)），使每个字节最高位为 \(1\)，从而与 ASCII 码（最高位为 \(0\)）区分，避免与西文冲突。公式：机内码 \(=\) 国标码 \(+ 8080H\)。例如：
'中'的国标码为 \(5650H\)，机内码为 \(D6D0H\)。
字符串¶
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字符串是按地址从高到低连续存储的多个字符的集合，通常以
'\0'结尾 -
对于多字节的数据（如汉字），可采用大/小端模式存储
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大端模式: 将数据的最高有效字节存放在低地址单元中
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小端模式: 将数据的最高有效字节存放在高地址单元中
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校验码¶
校验码是一种用于检测和纠正数据传输或存储过程中错误的技术。它通过在数据中添加冗余信息，以便在接收端进行错误检测和纠正。
常用的校验码有:
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奇偶校验码
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海明码
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循环冗余校验码（CRC）
奇偶校验码¶
奇偶校验码是一种简单的校验码，它通过在数据中添加一个校验位，使得数据中 \(1\) 的个数为奇数或偶数。
| 奇偶校验码 | 有效信息位 |
|---|---|
| \(1\) 位 | \(n\) 位 |
Example
例如，对于数据 \(1011011\)，其奇校验码为 \(01011011\)（原本有奇数个 \(1\)，校验位（最高位）为 \(0\)）；偶校验码为 \(11011011\)（原本不是偶数个 \(1\)，校验位（最高位）为 \(1\)）。
定点数的编码表示¶
真值和机器数¶
机器数的定点表示¶
定点整数¶
定点整数为纯整数，约定小数点的位置在有效数值部分最低位之后。
| x0 | , | x1 | x2 | ... | xn | . |
| 符号位 | 数值部分 | 小数点（隐含） | ||||
定点小数¶
定点小数为纯小数（小于 \(1\) 的小数），约定小数点的位置在符号位之后，有效数值部分最高位之前。
| x0 | . | x1 | x2 | ... | xn |
| 符号位 | 小数点（隐含） | 数值部分 | |||
原码、补码、反码、移码¶
Example
原码表示法¶
用机器数的最高位表示符号（\(0\) 表示正数，\(1\) 表示负数），其余位表示数值的绝对值。
真值零
原码表示法中，真值 \(0\) 有两种表示方法: \([+0]_{原} = 0,000\) 和 \([-0]_{原} = 1,000\)。
补码表示法¶
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正数的补码与原码相同
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负数的补码为原码的每一位取反（符号位除外），然后加 \(1\)
Tip
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补码的定义也可以“逆着用”，即“取反加一”也可以用于补码转换为原码。
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真值零的补码只有一种表示方法: \([+0]_{补} = 0,000\)。
反码表示法¶
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正数的反码与原码相同
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负数的反码为原码的每一位取反（符号位除外）
同理，真值 \(0\) 也有两种表示方法: \([+0]_{反} = 0,000\) 和 \([-0]_{反} = 1,111\)。
移码表示法¶
将补码的符号位取反，即可得到移码。
Tip
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移码只能用于表示定点整数（多用于表示浮点数的阶码）
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基于移码的定义和补码的特性，移码的真值零也只有一种表示方法: \([+0]_{移} = 1,000\)
原码、反码、补码、移码的表示范围¶
定点整数¶
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原码表示法：\(-2^{n-1} \le [x]_{原} \le +2^{n-1} - 1\)
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反码表示法：\(-2^{n-1} \le [x]_{反} \le +2^{n-1} - 1\)
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补码表示法：\(-2^{n} \le [x]_{补} \le +2^{n-1} - 1\)
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移码表示法：\(-2^{n} \le [x]_{移} \le +2^{n-1} - 1\)
定点小数¶
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原码表示法：\(-(1 - 2^{-n}) \le [x]_{原} \le +(1 - 2^{-n})\)
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反码表示法：\(-(1 - 2^{-n}) \le [x]_{反} \le +(1 - 2^{-n})\)
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补码表示法：\(-1 \le [x]_{补} \le +1 - 2^{-n}\)